La géométrie des courbes

Le livre Recherches sur les courbes à double courbure traite d’un sujet innovant. Depuis le XVII^e siècle, les géomètres de toute l’Europe ont étudié de nombreuses courbes du plan appliquant les idées de Descartes sur l’utilisation des coordonnées, puis les méthodes révolutionnaires du calcul différentiel et intégral de Newton et de Leibniz. Ils ont eu peu l’occasion d’envisager les courbes de l’espace ; on note cependant une communication à l’Académie des sciences d’Henri Pitot (1695-1771). Dans un mémoire de 1724, cet ingénieur hydraulicien étudie une sorte d’hélice et termine en écrivant : « Peut-être que ces sortes de courbes à double courbure, ou prises sur la surface des solides, seront un jour l’objet des recherches de géomètres. » Un défi qu’Alexis Clairaut s’empresse de relever.

Dans sa préface, il explique comment il va s’y prendre : une courbe de l’espace peut s’étudier en considérant ses projections sur les plans d’un angle solide (on dirait maintenant les trois plans d’un trièdre). Deux de ces projections suffisent et la courbe de l’espace participe « pour ainsi dire toujours de la courbure de ces deux courbes » ; c’est cela qui justifie l’expression « courbes à double courbure ».

L’ouvrage est, encore aujourd’hui, agréable à lire : il faut pour cela s’équiper de papier, d’un crayon et d’un logiciel de géométrie dynamique. Clairaut donne en effet de très nombreux exemples. Dans une première partie, il étudie des exemples de courbes à double courbure données par deux projections sur les plans de coordonnées, faisant comprendre que la courbe est alors intersection des deux cylindres construits à partir de ces projections. Dans ses exemples, les projections sont souvent des coniques. Il est intéressant d’imaginer nous-mêmes à quoi ressemble la courbe à partir de ses projections… Regardons, par exemple, les figures suivantes.