Au début de la préface de ses Élémens d’algèbre, Clairaut prévient : « J’ai tâché d’y donner les règles de l’algèbre dans un ordre que les inventeurs eussent pu suivre. Nulle vérité n’y est présentée sous la forme de théorèmes, toutes semblent être découvertes en s’exerçant sur les problèmes que le besoin ou la curiosité ont fait entreprendre de résoudre. »
De fait, c’est bien ce qu’il propose en commençant la première partie par divers problèmes qui ont pour point commun de pouvoir se résoudre par une même technique universelle : poser pour inconnu le résultat cherché, puis résoudre l’équation obtenue. Chaque problème est ainsi prétexte à examiner une technique de manipulation algébrique.
De manière très pédagogique, Clairaut introduit ensuite la seconde spécificité de l’algèbre, à savoir la possibilité de traiter un problème dans sa généralité en remplaçant les données numériques par des lettres que l’on manipule selon les mêmes règles découvertes précédemment. Tous les choix pédagogiques – et ils sont nombreux – sont préalablement détaillés dans la préface.
L’ouvrage comprend cinq parties. Après les généralités, illustrées par la résolution de problèmes du premier degré, la seconde partie porte sur la résolution des équations du second degré. Côté technique, on en profite pour s’initier aux manipulations algébriques sur les radicaux. Une troisième partie fait le point sur les équations de degré quelconque. Il ne s’agit pas ici de méthode de résolution mais de connaissances générales sur les propriétés des solutions que l’on peut déduire à partir de la forme de l’équation. Il aborde ensuite la résolution d’équations particulières de degré quelconque pour terminer, dans la cinquième partie, par le cas général de la résolution des équations de degrés 3 et 4.
