Le calcul intégral remonte aux Grecs de l’Antiquité. Au IVe siècle avant notre ère, Eudoxe de Cnide fut l’un des premiers à calculer les aires par des encadrements successifs, en utilisant la technique d’exhaustion (voir Le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50, 2014). Afin d’encadrer le nombre π, les Grecs (Archimède en tête) inscrivaient à l’intérieur d’un cercle un polygone dont ils savaient calculer la surface, puis ils dessinaient à l’extérieur du cercle un second polygone. De même, afin de calculer les volumes élaborés comme celui d’une pyramide, ils les « découpaient en tranches fines ». Le calcul différentiel, lui, étudie les taux auxquels les quantités changent. Bien que réciproque du calcul intégral, il n’apparut que deux-mille ans plus tard.
La sous-tangente ----------------
Florimond de Beaune (1601–1652), juriste, conseiller au Parlement de Blois (Loir-et-Cher), fut l’un des premiers commentateurs de La Géométrie de Descartes. À un moment donné de sa correspondance avec René Descartes et Marin Mersenne, il propose un problème : déterminer une ligne courbe à partir d’une propriété de sa tangente. Cette question sera assez rapidement transformée en celle de trouver une courbe telle qu’en tout point la sous-tangente soit constante (problème de Florimond de Beaune). Descartes ne peut trouver de méthode générale, il en propose une construction mécanique, ne pouvant en donner une expression algébrique. La « courbe logarithmique » ne sera connue des mathématiciens que vers la fin du XVIIe siècle (voir notre dossier « Les merveilles des logarithmes », Tangente 177, 2017), avec les travaux de Christian Huygens, par exemple, qui donne son nom à cette courbe, hésitant avec « courbe logistique ».
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) donne une solution au problème, dans un mémoire publié en 1684 qui pose les bases du calcul différentiel. Il y montre la puissance de ce nouvel outil, précisant que sa méthode s’applique à toutes les courbes, algébriques comme transcendantes. Il permet de résoudre en particulier ce qu’il reconnaît comme « le problème inverse des tangentes ».
Très inspiré par Pascal, Leibniz définit en premier lieu le « triangle » caractéristique (ici, dans la présentation de Guillaume de l’Hospital, un peu plus abordable). M est un point de la courbe. (MT) est la tangente à la courbe en M, qui coupe l’axe en T, et m est un point de la courbe « infiniment proche » de M. Le segment [Mm] est donc « quasi confondu » avec le petit arc de courbe \overset{\frown}{\text{M}m}.