Prévoir l’évolution de l’effectif d’une population animale, végétale ou humaine implique des enjeux énormes. Les mathématiques sont là pour nous aider à modéliser ces situations. Dans un premier temps, on pourrait penser que l’utilisation des suites, où chaque terme *un correspondrait par exemple à l’effectif d’une population au bout de n* années, est approprié. C’est vrai pour certains insectes dont les formes adultes meurent en hiver pendant que les œufs attendent les beaux jours pour éclore, ou pour certaines plantes dont les graines attendent le printemps pour entrer dans la phase de germination. Dans ces situations, les différentes générations sont bien distinctes.
La situation se complique sérieusement si les générations peuvent se superposer, c’est-à-dire quand des adultes d’âges différents peuvent cohabiter. Ajoutez à cela le cas d’espèces (comme l’homme) où la période de reproduction ne suit aucune périodicité saisonnière, et l’utilisation des suites devient inextricable. L’idéal est alors de modéliser la situation par une fonction N dépendant du temps t. Les observations de situations réelles laissent penser que le taux d’accroissement de la population, donné par N’(t), dépend aussi de l’effectif de la population elle-même. Autrement dit, il y a un lien entre N et N’ : les équations différentielles sont là !
Un modèle simpliste -------------------
C’est en 1798 que le pasteur chargé des nécessiteux Thomas Malthus publie son Essai sur le principe de la population. Il y suggère que le taux d’accroissement de la population dépend du taux de natalité b et du taux de mortalité d qu’il considère comme constants. Finalement, la population est soumise à un taux d’accroissement r = b – d et on a la relation N’ = rN. Cette équation différentielle est sans doute la plus simple qui soit et sa résolution nous donne explicitement N(t) = N0 exp(r t), où N0 est la population initiale.
En accord avec l’intuition qu’on peut en avoir, si le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité, r est positif et la population croît. Au contraire, si r < 0, la population décroît et si r = 0, naissances et décès se compensent et la population reste stable.