fonction de Gompertz

Imaginez une quantité qui démarre presque au ras du sol, décolle, puis freine en approchant d'un plafond. Sa courbe forme un S, mais ses deux moitiés ne sont pas en miroir : le virage arrive avant le milieu de la montée. La fonction de Gompertz décrit ce mouvement asymétrique. Elle convient ainsi à des phénomènes dont la progression ralentit durablement, comme une croissance biologique ou la diffusion d'un produit.

La fonction de Gompertz est une famille de fonctions exponentielles à trois paramètres. Pour une variable réelle t, le paramètre α règle la position dans l'exponentielle intérieure, β règle son évolution avec t, et γ fixe l'échelle verticale. Sa forme générale est :

Pour que cette écriture définisse une fonction réelle pour tout t réel, il faut β > 0. Le profil croissant en S annoncé habituellement apparaît lorsque α < 0 et 0 < β < 1. La valeur tend alors vers 0 quand t tend vers −∞ et vers $e^{\gamma }e^\backslash gamma$ quand t tend vers +∞. L'inflexion est atteinte lorsque $\alpha {\beta }^t=-1\backslash alpha\backslash beta^t=-1$ ; elle se situe donc à la fraction 1/e du plafond. Benjamin Gompertz (1779–1865), mathématicien et actuaire britannique, introduisit cette forme pour modéliser la mortalité humaine à partir d'un taux augmentant approximativement de façon géométrique avec l'âge.

Quatre éléments construisent la courbe. La variable t repère l'avancement du phénomène. Le paramètre γ donne le plafond $e^{\gamma }e^\backslash gamma$. Le paramètre α détermine la position initiale par rapport à ce plafond. Enfin, β commande la vitesse à laquelle l'exponentielle intérieure évolue.

Dans le cas croissant, α est négatif et β est compris strictement entre 0 et 1. Ces deux conditions travaillent ensemble : la puissance β^t décroît, donc le terme négatif αβ^t remonte vers 0 et la fonction se rapproche du plafond. Modifier γ change l'échelle verticale ; modifier α ou β déplace l'inflexion et transforme le rythme de la montée. Ces données suffisent à calculer une valeur pour chaque t et à tracer toute la courbe.

On suit un indice de croissance au cours du temps. Son plafond vaut 100 unités, son coefficient initial vaut −5 et son rythme intérieur vaut 0,2 par unité de temps. Le modèle choisi est $G(t)=100\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-5e^{-\mathrm{0,2}t})G(t)=100\backslash exp\backslash !\backslash left(-5e^\{-0\{,\}2t\}\backslash right)$. Cette écriture est équivalente à la forme générale : $\gamma =\ln 100\backslash gamma=\backslash ln\; 100$, $\alpha =-5\backslash alpha=-5$ et $\beta =e^{-\mathrm{0,2}}\backslash beta=e^\{-0\{,\}2\}$ ; le coefficient 0,2 fixe donc le rythme intérieur par ${\beta }^t=e^{-\mathrm{0,2}t}\backslash beta^t=e^\{-0\{,\}2t\}$.

1. Au départ, $G(0)=100e^{-5}\approx \mathrm{0,67}G(0)=100e^\{-5\}\backslash approx0\{,\}67$ unité : la progression est encore discrète.
2. Après 5 unités de temps, $G(5)=100e^{-5\mathrm{/}e}\approx \mathrm{15,89}G(5)=100e^\{-5/e\}\backslash approx15\{,\}89$ unités.
3. L'inflexion vérifie $5e^{-\mathrm{0,2}t}=15e^\{-0\{,\}2t\}=1$, donc $t=5\ln 5\approx \mathrm{8,05}t=5\backslash ln\; 5\backslash approx8\{,\}05$.
4. À cet instant, $G(t)=100\mathrm{/}e\approx \mathrm{36,79}G(t)=100/e\backslash approx36\{,\}79$ unités.
5. À t = 20, le modèle donne environ 91,25 unités.

Le contrôle est immédiat : toutes les valeurs calculées restent entre 0 et 100 et augmentent, tandis que l'écart au plafond tombe à environ 8,75 unités au temps 20. La courbe calculée rend visibles l'inflexion précoce et l'approche progressive du plafond.

En biologie, on ajuste une courbe de Gompertz à des mesures successives de croissance tumorale ou démographique. On la préfère à une croissance exponentielle lorsque les données montrent un ralentissement persistant vers un plafond.

En économie, elle peut représenter la diffusion d'un produit. On estime les paramètres à partir des observations, puis on compare la courbe aux données ; une forme logistique est une alternative si la montée paraît symétrique autour de son inflexion.

En épidémiologie, la même famille sert à décrire une progression cumulée qui s'infléchit. Le geste utile consiste à contrôler séparément le plafond estimé, la date d'inflexion et l'asymétrie, plutôt qu'à juger seulement l'allure générale du S.

Fonction logistique. Elle produit aussi une courbe en S avec un plafond, mais elle est symétrique autour de son point d'inflexion. Une montée où les portions avant et après l'inflexion ne se répondent pas favorise Gompertz ; une montée symétrique favorise le modèle logistique.

Fonction exponentielle. Une exponentielle à taux constant ne possède pas de plafond fini et ne ralentit pas d'elle-même. Si les écarts relatifs restent constants sans saturation visible, l'exponentielle suffit ; si la progression se courbe durablement vers une limite, Gompertz répond à un autre mécanisme.

Les paramètres ne donnent pas toujours un S croissant. Pour des temps réels, β doit être strictement positif. Le régime α < 0 et 0 < β < 1 produit la croissance sigmoïde usuelle ; avec β > 1, le sens d'évolution est renversé. Il faut donc vérifier les signes et l'intervalle de β avant d'interpréter le tracé.

Deux cas suppriment toute croissance. Si α = 0, la fonction est constante et vaut $e^{\gamma }e^\backslash gamma$. Si β = 1, elle est encore constante, cette fois à $e^{\alpha +\gamma }e^\{\backslash alpha+\backslash gamma\}$. Dans ces cas charnières, parler d'inflexion ou de phase d'accélération n'a plus de sens.

Un S visuel ne valide pas le modèle. Des observations limitées à la phase de montée peuvent laisser le plafond très incertain. Il faut confronter les valeurs calculées aux données, examiner les résidus et comparer une alternative, notamment logistique, au lieu de conclure sur la seule silhouette.

La fonction exponentielle éclaire les deux exponentielles emboîtées qui façonnent le rythme de Gompertz.

Le point d'inflexion précise l'instant où la croissance cesse d'accélérer et commence à ralentir.

La fiche asymptote approfondit la manière dont une courbe se rapproche d'une valeur limite sans nécessairement l'atteindre.