Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Gompertz Benjamin
Benjamin Gompertz est le mathématicien et actuaire britannique à l'origine de la loi de Gompertz, un modèle selon lequel le taux instantané de mortalité d'une population croît exponentiellement avec l'âge. Elle permet d'ajuster et de comparer des taux observés en actuariat, démographie ou biologie, à condition de préciser la population, la période et l'intervalle d'âges étudiés ; elle ne prédit pas l'âge du décès d'un individu.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Benjamin Gompertz, sa formation autodidacte et ses contributions savantes.
- Lire la loi de Gompertz comme une croissance exponentielle du taux de mortalité avec l'âge.
- Refaire un calcul de taux lorsque le temps de doublement est connu.
- Distinguer un taux de mortalité d'une probabilité individuelle et reconnaître les limites du modèle.
En clair
En 1825, l'actuaire britannique Benjamin Gompertz publie une idée pour décrire la mortalité avec l'âge. Imaginez un taux de 1 décès pour 1 000 personnes-années à 40 ans, qui double tous les huit ans. Il passe alors à 2 pour 1 000 à 48 ans, puis à 4 pour 1 000 à 56 ans.
La loi de Gompertz traduit cette accélération par une croissance exponentielle. Elle ne dit pas que chacun mourra à un âge précis : elle décrit l'évolution d'un taux dans une population.
Définition
Benjamin Gompertz (1779–1865) est un mathématicien et actuaire britannique autodidacte. Issu d'une famille juive d'origine néerlandaise établie en Angleterre, il ne peut accéder à l'université et se forme en lisant Newton et Maclaurin. Actuaire dans une compagnie d'assurance, il présente en 1820 à la Royal Society une communication qui applique le calcul différentiel à l'estimation de l'espérance de vie.
Dans le modèle publié en 1825, l'âge est noté x et le taux instantané de mortalité à cet âge est noté μ(x). Une écriture usuelle de la loi de Gompertz est :
Le paramètre B est le taux μ(0) au point x = 0 de l'origine d'âge choisie. Le paramètre c règle sa vitesse de croissance. La loi porte sur un taux de mortalité, non sur l'âge certain du décès d'un individu. La loi de Gompertz-Makeham est une extension ultérieure du modèle.
Le modèle est employé en biologie, en démographie et en économie. Gompertz travaille aussi en astronomie, publie plusieurs ouvrages dans ce domaine et compte parmi les fondateurs de la Royal Astronomical Society. Il contribue en 1834 à la fondation de la Royal Statistical Society.
Un exemple, pas à pas
On considère un exemple hypothétique : à 40 ans, le taux de mortalité vaut 0,001 par an, soit 1 pour 1 000 personnes-années. On suppose qu'il double tous les huit ans. Les données sont donc l'âge de référence 40 ans, le taux initial 0,001 par an et le temps de doublement 8 ans.
1. Pour un âge x, le nombre de périodes de huit ans écoulées depuis 40 ans est (x − 40) / 8. Le taux hypothétique est donc :
2. À 48 ans, une période s'est écoulée : μ(48) = 0,001 × 2 = 0,002 par an, soit 2 pour 1 000 personnes-années.
3. À 56 ans, deux périodes se sont écoulées : μ(56) = 0,001 × 22 = 0,004 par an, soit 4 pour 1 000 personnes-années. À 64 ans, le même calcul donne 0,008 par an, soit 8 pour 1 000.
Le contrôle consiste à diviser deux taux espacés de huit ans : 0,004 / 0,002 = 2 et 0,008 / 0,004 = 2. Le doublement annoncé est bien respecté.
En pratique
En actuariat, la loi fournit une forme mathématique pour relier l'âge à un taux de mortalité. Dans l'exemple, on fixe un taux à 40 ans et un temps de doublement, puis on calcule le taux aux autres âges.
En démographie, on confronte cette progression exponentielle aux taux observés selon l'âge. Si les rapports entre taux séparés par le même intervalle restent voisins, la forme de Gompertz constitue un modèle possible ; sinon, il faut retenir une autre description.
En biologie et en économie, le modèle sert de cadre lorsque le phénomène étudié présente la croissance exponentielle visée. Le geste décisif reste le même : estimer les paramètres sur des données, puis examiner l'écart entre le modèle et les observations.
À ne pas confondre
Taux de mortalité et probabilité de mourir. Le taux μ(x) exprime une intensité instantanée rapportée au temps ; il ne se lit pas directement comme une probabilité sur une année. Dans l'exemple, 0,008 par an est un taux à 64 ans, pas l'annonce qu'une personne donnée a exactement 0,8 % de risque annuel sans autre calcul.
Loi de Gompertz et loi de Gompertz-Makeham. Le nom « Gompertz-Makeham » désigne l'extension ultérieure mentionnée dans l'histoire du modèle. Un résultat explicitement attribué à Gompertz-Makeham ne doit donc pas être présenté comme la loi originale publiée par Gompertz en 1825.
Limites et pièges
Une exponentielle n'est pas une loi universelle. La loi de Gompertz est un modèle. Si, pour des intervalles d'âge identiques, les taux observés ne sont pas multipliés par des facteurs comparables, le symptôme contredit la forme exponentielle simple et invite à choisir un autre modèle.
Le doublement appartient à l'exemple, pas à la définition. Huit ans est ici une donnée hypothétique. Avec un autre paramètre c, le temps de doublement change ; il vaut ln(2) / c lorsque c est strictement positif.
Le taux ne prédit pas un destin individuel. La courbe synthétise une relation entre âge et mortalité dans une population modélisée. Pour juger son emploi, il faut préciser la population, la période et l'intervalle d'âges, puis contrôler l'accord avec les données observées.
Pour aller plus loin
La loi de Gompertz ouvre deux pistes complémentaires. La première consiste à passer du taux instantané de mortalité à une courbe de survie. La seconde consiste à comparer la loi originale publiée en 1825 à son extension ultérieure, la loi de Gompertz-Makeham, afin d'identifier ce que chaque paramètre ajoute à la description.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres