Da millenni, le malattie infettive o virali colpiscono l’uomo. Fu solo nel 18º secolo che la matematica cominciò a interessarsi alle epidemie, quando l’Europa scoprì in Cina l’inoculazione volontaria del virus del vaiolo. Ci si chiedeva allora se questo precursore della vaccinazione dovesse essere incoraggiato. A partire da equazioni differenziali, il medico, fisico e matematico svizzero Daniel Bernoulli (1700–1782) calcolò l’aumento della speranza di vita dovuto alla variolizzazione collettiva.
La pandemia più drammatica della storia fu la «spagnola», che causò cento milioni di morti alla fine della Prima guerra mondiale, ossia circa venti volte più della Covid-19, secondo i dati oggi disponibili. Insieme alla peste in India, diede impulso alla matematizzazione moderna delle epidemie. Vi contribuirono anche le equazioni differenziali di predazione di Lotka–Volterra, che descrivono la dinamica di sistemi biologici in cui interagiscono un predatore e la sua preda (vedi Mathématiques et Biologie, Bibliothèque Tangente 42, 2011).
Negli anni Ottanta, i modelli furono applicati all’AIDS. Durante la pandemia di Covid-19 furono ampiamente impiegati nel processo decisionale relativo alle politiche di salute pubblica (vedi il nostro dossier «Covid-19, un approccio matematico», Tangente 194, 2020).
Il modello SIR -------------
Nel 1927, il biochimico William Ogilvy Kermack (1898–1970) e il medico militare Anderson Gray McKendrick (1876–1943) resero l’incidenza (la probabilità che un individuo contragga la malattia) proporzionale alla prevalenza (la proporzione di individui contagiosi), introducendo così la non linearità. Il modello SIR, di cui gettarono le basi, suddivide gli individui in tre categorie che rappresentano il loro stato rispetto alla malattia e sono chiamate compartimenti: «Susceptible» (S, «sani»), «Infectious» (I, «infetti»), «Recovered» (R, «guariti»). I due scienziati immaginavano un modello in cui tutti i parametri potessero variare. Ma nel 1927 i computer non esistevano. Definirono quindi «versioni semplificate», nella purtroppo vana speranza di trovare un modo per esprimere S, I e R come funzioni analitiche (sviluppabili in serie intera nell’intorno di ciascun punto del loro dominio di definizione). Il problema divenne allora un sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO) dipendente da una sola variabile, il tempo.