Depuis des millénaires, les maladies infectieuses ou virales affectent l’Homme. C’est seulement au xviiie siècle que les mathématiques commencèrent à s’intéresser aux épidémies, quand l’Europe découvrit en Chine l’inoculation volontaire du virus de la variole. La question était alors de savoir si ce précurseur de la vaccination devait être encouragé. À partir d’équations différentielles, le médecin, physicien et mathématicien suisse Daniel Bernoulli (1700–1782) calcula le gain d’espérance de vie apporté par la variolisation collective.
La pandémie la plus marquante de l’Histoire fut la « grippe espagnole », qui fit cent millions de morts à la fin de la Première Guerre mondiale (soit environ vingt fois plus que la Covid-19, au vu des chiffres disponibles aujourd’hui). Conjointement avec la peste en Inde, elle suscita la mathématisation moderne des épidémies. Les équations différentielles de prédation de Lotka–Volterra, qui décrivent la dynamique de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent, y ont aussi contribué (voir Mathématiques et Biologie, Bibliothèque Tangente 42, 2011).
Dans les années 1980, les modèles ont été mis en pratique sur le sida. Pendant la pandémie Covid-19, ils connurent un essor lors de la prise de décisions relatives aux politiques de santé publique (voir notre dossier « Covid-19, une approche mathématique », Tangente 194, 2020).
Le modèle SIR -------------
En 1927, le biochimiste William Ogilvy Kermack (1898–1970) et le médecin militaire Anderson Gray McKendrick (1876–1943) rendirent l’incidence (probabilité qu’un individu contracte la maladie) proportionnelle à la prévalence (proportion d’individus contagieux) et introduisirent la non-linéarité. Le modèle SIR, dont ils jetèrent les bases, répartit les individus entre trois catégories, qui représentent leur état face à la maladie et qui sont appelées compartiments : « Susceptible » (S, « sains »), « Infectious » (I, « infectés »), « Recovered » (R, « rétablis »). Les deux scientifiques envisageaient un modèle où tous les paramètres pouvaient varier. Mais, en 1927, les ordinateurs n’existaient pas. Du coup, ils définirent des « versions simplifiées » dans l’espoir, malheureusement vain, de pouvoir trouver une manière d’exprimer S, I et R sous la forme de fonctions analytiques (développables en série entière au voisinage de chacun des points de leur domaine de définition). Le problème devint alors un système d’équations différentielles ordinaires (EDO) fonction d’une seule variable, le temps.