AlgèbreNotion · Glossaire
modèle SIR
Le modèle SIR décrit une épidémie dans une population totale constante en répartissant les individus entre trois groupes : S, les personnes susceptibles d'être infectées ; I, les personnes infectées capables de transmettre la maladie ; R, les personnes rétablies ou autrement retirées de la chaîne de transmission. Il suit les passages de S à I, puis de I à R, à l'aide d'un système d'équations différentielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les compartiments susceptibles, infectés et rétablis à la conservation de la population.
- Lire le système différentiel et le rôle des paramètres de transmission et de sortie.
- Calculer les débits initiaux pour une population fictive de 1 000 personnes.
- Vérifier que les trois variations instantanées ont une somme nulle.
- Interpréter le seuil de croissance des infectés et reconnaître les hypothèses qui limitent le modèle.
En clair
Imaginons 1 000 personnes : 990 peuvent encore attraper une maladie, 10 la transmettent et aucune n'est encore rétablie. Le modèle SIR range ainsi chaque personne dans une seule des trois catégories S, I ou R.
Au fil du temps, des personnes passent de S à I quand elles sont infectées, puis de I à R quand elles ne participent plus à la transmission. Le modèle suit la taille des trois groupes plutôt que chaque parcours individuel. Leur somme reste égale à la population totale.
Définition
Le modèle SIR décrit une population fermée de taille constante N. À l'instant t, le nombre S(t) compte les personnes susceptibles d'être infectées, I(t) les personnes infectées et capables de transmettre, et R(t) les personnes rétablies ou retirées de la transmission. Chaque personne appartient à un seul compartiment, si bien que S(t) + I(t) + R(t) = N.
Le paramètre β représente le taux de transmission dans la convention où les rencontres infectieuses sont proportionnelles à S(t)I(t)/N. Le paramètre γ représente le taux de sortie du compartiment I. Avec des paramètres constants et positifs ou nuls, les transferts sont régis par le système :
Additionner les trois équations donne d(S + I + R)/dt = 0, ce qui exprime la conservation de la population.
Le système détermine l'évolution des effectifs à partir de valeurs initiales S(0), I(0) et R(0). Il s'agit d'un modèle continu : les valeurs calculées décrivent des effectifs moyens et peuvent ne pas être entières. Sa simplicité en fait un point de départ pour des modèles épidémiologiques comportant davantage de compartiments ou de mécanismes.
Un exemple, pas à pas
Considérons une population fictive de N = 1 000 personnes. À l'instant initial, S = 990, I = 10 et R = 0. Prenons un taux de transmission β = 0,3 par jour et un taux de sortie γ = 0,1 par jour.
1. Vérifions la population totale : 990 + 10 + 0 = 1 000.
2. Calculons le débit instantané de S vers I : personnes par jour. Le débit de I vers R vaut γI = 0,1 × 10 = 1 personne par jour.
3. Les variations instantanées sont donc dS/dt = −2,97, dI/dt = 2,97 − 1 = 1,97 et dR/dt = 1, en personnes par jour. À cet instant, le compartiment I augmente. La figure met en regard les trois effectifs et les deux débits.
4. Contrôlons la conservation : −2,97 + 1,97 + 1 = 0. Le calcul porte sur des vitesses à l'instant initial ; il ne signifie pas que 2,97 personnes observables changent réellement de compartiment pendant chaque journée suivante.
En pratique
Pour explorer un scénario, on fixe les effectifs initiaux et les paramètres β et γ, puis on résout le système afin de suivre S, I et R dans le temps. Le modèle SIR convient lorsque les trois états suffisent et que la population peut être considérée comme fermée pendant la période étudiée.
Pour repérer le moment où le nombre d'infectés cesse de croître, on examine le signe de dI/dt. Lorsque β > 0 et tant que I est positif, la croissance s'arrête lorsque la proportion susceptible S/N atteint γ/β ; au-dessus, I croît, et au-dessous, I décroît. Si β = 0, aucune nouvelle infection n'a lieu et dI/dt = −γI : I décroît lorsque γ > 0 et I > 0, et reste constant sinon.
Si les données distinguent une phase avant transmission, des retours vers la susceptibilité, des naissances ou des décès, trois compartiments ne suffisent plus. Il faut alors choisir un modèle étendu dont les compartiments correspondent aux transitions réellement observées.
À ne pas confondre
Effectif infecté et incidence. Dans le modèle, I(t) est l'effectif infecté présent à l'instant t. Le débit βS(t)I(t)/N mesure au contraire les nouvelles infections par unité de temps. Dix personnes infectées et 2,97 nouvelles infections par jour ne sont donc pas deux mesures du même objet.
Effectif infecté et proportion infectée. I(t) compte des personnes, tandis que I(t)/N est une proportion sans unité. Dans l'exemple, I = 10 et I/N = 0,01, soit 1 %. Une équation utilisant l'une ne peut pas recevoir l'autre sans adaptation.
Modèle déterministe et trajectoire observée. Les équations donnent une évolution moyenne fixée par les conditions initiales et les paramètres. Une série de cas réels peut fluctuer autour de cette évolution ; une coïncidence ponctuelle ne valide pas à elle seule les hypothèses du modèle.
Limites et pièges
Population non fermée. Le système impose S + I + R = N constant. Si le total observé change par naissances, décès ou déplacements, ce bilan ne tient plus. Il faut ajouter les flux concernés au système au lieu de les absorber dans β ou γ.
Paramètres trop uniformes. La forme βSI/N suppose qu'un même paramètre résume les contacts susceptibles de transmettre. Si les groupes se rencontrent différemment ou si β varie avec le temps, un ajustement unique masque ce mécanisme. Il faut stratifier la population ou faire varier les paramètres de façon explicite.
Seuil mal interprété. Avec β = 0,3 et γ = 0,1 par jour, le seuil est γ/β = 1/3. Au départ, S/N = 0,99, donc I augmente. L'égalité S/N = 1/3 indique seulement dI/dt = 0 lorsque I est positif ; elle ne fixe ni la date ni la hauteur du maximum sans résoudre le système.
Effectifs fractionnaires. Une sortie comme 2,97 personnes par jour est un débit continu, pas un comptage individuel. Pour une petite population où chaque événement compte et où l'aléa domine, il faut employer une description discrète et probabiliste plutôt que d'arrondir chaque étape du modèle SIR.
Pour aller plus loin
Le modèle a été introduit en 1924 par Soper, Kermack et McKendrick, et présenté formellement pour la première fois par Kermack et McKendrick à Londres et Cambridge en 1927, pour décrire rétrospectivement l'évolution de l'épidémie de peste à Bombay entre 1905 et 1906. Malgré sa simplicité, ce modèle constitue la base de nombreux modèles épidémiologiques plus complexes.
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