AlgèbreNotion · Glossaire
Interaction proie/prédateurs
Le modèle proie-prédateurs, aussi appelé système de Lotka-Volterra, est un système d'équations différentielles ordinaires décrivant l'évolution des populations d'une espèce proie et d'une espèce prédatrice en interaction. Les équations sont dx/dt = ax - bxy et dy/dt = -cy + dxy, où x est la population de proies, y celle de prédateurs, et a, b, c, d sont des constantes positives. Ce système admet des solutions périodiques : les populations oscillent de façon cyclique. Il modélise des phénomènes comme les lapins et les lynx.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter chacun des quatre termes du système de Lotka-Volterra.
- Calculer les deux taux instantanés à partir de populations et de paramètres donnés.
- Retrouver l’équilibre intérieur (c/d ; a/b) et contrôler le signe des taux.
- Distinguer les cycles positifs non constants des équilibres et des cas dégénérés.
En clair
Dans une population de lapins et de lynx, des lapins nombreux offrent davantage de nourriture aux lynx. Les prédateurs se multiplient alors, ce qui freine les proies. Quand les lapins se raréfient, les lynx manquent à leur tour de nourriture et leur population diminue. Les proies peuvent ensuite repartir.
Le modèle de Lotka-Volterra traduit cette boucle par deux évolutions liées. La variation de chaque population dépend à la fois de son effectif et des rencontres entre proies et prédateurs. Dans le modèle idéal, ce décalage engendre des cycles autour d’un état d’équilibre.
Définition
Le modèle proie-prédateurs de Lotka-Volterra est un système de deux équations différentielles ordinaires. La population de proies au temps t est notée x(t), et la population de prédateurs y(t). Quatre constantes sont positives : a règle la croissance propre des proies, b l’effet des rencontres sur les proies, c la mortalité propre des prédateurs et d le bénéfice des rencontres pour les prédateurs.
Le système s’écrit et . Sans prédateur, le premier terme fait croître les proies. Sans proie, le premier terme de la seconde équation fait décroître les prédateurs. Les produits xy représentent l’intensité des rencontres dans cette modélisation.
Pour des populations strictement positives, l’équilibre intérieur comporte c/d proies et a/b prédateurs. Hors de cet équilibre, les trajectoires positives idéales forment des courbes fermées : les deux populations oscillent avec un décalage. Les solutions constantes d’équilibre constituent des exceptions à l’oscillation. Le modèle concerne une interaction simplifiée entre une seule espèce proie et une seule espèce prédatrice, avec des paramètres constants.
Un exemple, pas à pas
Considérons un système simplifié observé sur une journée. Les données sont x = 40 proies, y = 10 prédateurs, a = 0,4 par jour, b = 0,02 par prédateur et par jour, c = 0,3 par jour et d = 0,01 par proie et par jour.
1. La croissance propre des proies vaut ax = 0,4 × 40 = 16 proies par jour.
2. La perte due aux rencontres vaut bxy = 0,02 × 40 × 10 = 8 proies par jour.
3. Le taux instantané des proies est donc dx/dt = 16 − 8 = 8 proies par jour.
2. La perte due aux rencontres vaut bxy = 0,02 × 40 × 10 = 8 proies par jour.
3. Le taux instantané des proies est donc dx/dt = 16 − 8 = 8 proies par jour.
4. La décroissance propre des prédateurs vaut cy = 0,3 × 10 = 3 prédateurs par jour.
5. Le gain dû aux rencontres vaut dxy = 0,01 × 40 × 10 = 4 prédateurs par jour.
6. Le taux instantané des prédateurs est donc dy/dt = −3 + 4 = 1 prédateur par jour. À cet instant, les deux populations augmentent. La figure place cet état et les deux seuils où un taux s’annule.
5. Le gain dû aux rencontres vaut dxy = 0,01 × 40 × 10 = 4 prédateurs par jour.
6. Le taux instantané des prédateurs est donc dy/dt = −3 + 4 = 1 prédateur par jour. À cet instant, les deux populations augmentent. La figure place cet état et les deux seuils où un taux s’annule.
Le contrôle consiste à calculer l’équilibre intérieur : c/d = 0,3/0,01 = 30 proies et a/b = 0,4/0,02 = 20 prédateurs. Comme 40 dépasse 30, le taux des prédateurs est positif ; comme 10 reste sous 20, le taux des proies est positif. Les signes confirment les deux résultats.
En pratique
Pour déterminer le sens immédiat d’évolution, remplacez x, y, a, b, c et d dans les deux membres de droite. Le signe suffit : un taux positif annonce une hausse instantanée, un taux négatif une baisse, et zéro un arrêt instantané. Une simulation numérique devient préférable pour suivre les populations sur une durée entière.
Pour repérer l’état d’équilibre positif, calculez c/d pour les proies et a/b pour les prédateurs. Dans l’exemple, le point (30 ; 20) annule simultanément les deux taux. Si une seule égalité est satisfaite, une population est momentanément stationnaire tandis que l’autre continue d’évoluer.
Pour confronter le modèle à des observations, vérifiez si l’environnement, les paramètres et les espèces peuvent raisonnablement être traités comme constants et isolés. Si les ressources des proies sont limitées, une croissance logistique est une alternative plus adaptée que le terme ax seul.
À ne pas confondre
Modèle proie-prédateurs et croissance logistique. Le premier couple deux populations par les produits xy ; la seconde freine une population lorsqu’elle approche une capacité limite. Sans prédateur, l’équation dx/dt = ax conserve une croissance exponentielle et non logistique.
Équilibre et égalité des populations. Un équilibre exige l’annulation des deux taux, pas x = y. Dans l’exemple, l’équilibre est (30 ; 20) : les effectifs sont différents, mais dx/dt et dy/dt valent tous deux zéro.
Limites et pièges
Tous les états ne produisent pas une oscillation. À l’équilibre positif (c/d ; a/b), les deux dérivées sont nulles et les populations restent constantes. Dans l’exemple, ce cas charnière est (30 ; 20). Il faut donc réserver l’idée de cycle aux solutions positives non constantes.
Un taux instantané n’est pas une prévision sur une journée. Le résultat dx/dt = 8 proies par jour décrit la pente à l’instant étudié. Les populations modifient aussitôt les deux taux. Pour prévoir une valeur ultérieure, il faut résoudre ou approximer le système, et non ajouter mécaniquement 8 chaque jour.
Les axes forment des cas dégénérés. Si y = 0, aucun prédateur ne réapparaît dans l’équation et les proies croissent selon dx/dt = ax. Si x = 0, les prédateurs décroissent selon dy/dt = −cy. Ces trajectoires ne sont pas les cycles fermés de l’intérieur positif.
Le cycle idéal n’est pas une loi universelle. Les paramètres constants, l’absence de limite propre aux ressources et la réduction à deux espèces structurent le résultat. Si ces hypothèses échouent, il faut enrichir les équations et vérifier à nouveau la nature des trajectoires.
Pour aller plus loin
modèle de Lotka-Volterra — Pour prolonger l’étude du système sous son appellation mathématique usuelle.
système dynamique — Pour replacer l’évolution couplée des deux populations dans un cadre plus général.
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