Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
McKendrick Anderson
Anderson Gray McKendrick est un médecin épidémiologiste qui a contribué à fonder l'épidémiologie mathématique en modélisant la propagation des maladies infectieuses. Les modèles compartimentaux auxquels son nom est associé répartissent une population en états et décrivent les passages entre eux, sous des hypothèses explicites sur la population et les paramètres, afin de simuler l'évolution d'une épidémie et d'éclairer la santé publique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer McKendrick, sa carrière au Penjab et sa publication de 1926.
- Relier ses travaux avec Kermack à la formalisation des modèles compartimentaux de type SIR.
- Suivre un bilan SIR chiffré et en contrôler la conservation.
- Distinguer une simulation conditionnelle d'une prédiction certaine.
En clair
En 1926, le médecin écossais Anderson Gray McKendrick publie un ouvrage qui applique les mathématiques à des problèmes médicaux. Son idée directrice est concrète : suivre les changements d'état au sein d'une population pour décrire une épidémie.
Avec William Ogilvy Kermack, il contribue notamment à formaliser des modèles compartimentaux de type SIR. Les individus y sont regroupés selon leur situation face à la maladie, puis les passages d'un groupe à l'autre sont traduits en relations mathématiques.
Définition
Anderson Gray McKendrick (1876–1943) est un médecin épidémiologiste écossais et l'un des pionniers de l'épidémiologie mathématique. Après un début de carrière au Penjab et une collaboration avec Ronald Ross, il publie en 1926 Applications of mathematics to medical problems. Cet ouvrage développe des modèles destinés à décrire la propagation des maladies infectieuses.
Les modèles compartimentaux auxquels McKendrick contribue, notamment avec William Ogilvy Kermack, répartissent une population en groupes. Dans un modèle SIR élémentaire, la lettre S désigne les personnes susceptibles d'être infectées, I les personnes infectieuses et R les personnes retirées de la transmission. Le modèle relie l'évolution de ces effectifs au temps.
Si N est l'effectif total supposé constant, β le taux de transmission et γ le taux de retrait, une formulation continue usuelle est :
Ces équations ne décrivent pas chaque personne séparément : elles suivent les effectifs des compartiments sous les hypothèses choisies. Cette approche constitue une base de l'épidémiologie mathématique moderne, utilisée pour simuler et anticiper l'évolution d'épidémies en santé humaine et vétérinaire.
Un exemple, pas à pas
Considérons un bilan fictif sur une seule journée dans une population fermée. Au départ, elle compte 300 personnes : 290 susceptibles, 10 infectieuses et aucune personne retirée. Pendant la journée, 4 susceptibles deviennent infectieuses et 2 personnes infectieuses sont retirées de la transmission.
Étape 1. L'effectif initial est bien 290 + 10 + 0 = 300 personnes.
Étape 2. Après les 4 nouvelles infections, le compartiment susceptible contient 290 − 4 = 286 personnes.
Étape 3. Le compartiment infectieux reçoit ces 4 personnes et en perd 2 : il contient 10 + 4 − 2 = 12 personnes.
Étape 4. Le compartiment retiré passe de 0 à 0 + 2 = 2 personnes. Le nouvel état est donc S = 286, I = 12 et R = 2.
Ce bilan rend visible le principe compartimental : une transition diminue un groupe et augmente le suivant du même nombre. Il ne suffit toutefois pas à prédire l'étape suivante, car les 4 infections et les 2 retraits ont ici été donnés.
Le contrôle consiste à refaire le total final : 286 + 12 + 2 = 300 personnes. L'effectif est conservé dans cet exemple fermé.
En pratique
En santé publique, un modèle compartimental sert à tester des scénarios d'évolution d'une épidémie. On ajuste les hypothèses aux données disponibles, puis on compare les trajectoires simulées plutôt que de lire une prédiction comme une certitude.
Le cadre SIR convient lorsqu'un découpage en personnes susceptibles, infectieuses et retirées représente correctement la question posée. Si une étape importante manque, il faut préférer un modèle comportant d'autres compartiments.
La même logique est utilisée en santé humaine et vétérinaire : définir les groupes, estimer les passages entre eux, simuler l'évolution, puis confronter le résultat aux observations.
À ne pas confondre
McKendrick et Kermack. Anderson Gray McKendrick est la personne à laquelle cette fiche est consacrée ; William Ogilvy Kermack est son collaborateur dans la formalisation de modèles compartimentaux. Un texte qui attribue ce travail au duo parle donc de Kermack et McKendrick, et non de deux noms du même chercheur.
Un chercheur et un modèle. McKendrick est un médecin épidémiologiste ; le modèle SIR est un cadre mathématique auquel ses travaux ont contribué. Une date de vie ou un lieu de carrière concerne la personne, tandis qu'un compartiment S, I ou R appartient au modèle.
Limites et pièges
Une simulation n'est pas une certitude. Si les observations s'écartent nettement de la trajectoire calculée, les hypothèses ou les paramètres du modèle doivent être réexaminés. Une projection conditionnelle ne doit pas être présentée comme la date certaine d'un futur événement.
Les compartiments sont des choix de modélisation. Le SIR élémentaire suppose que trois états suffisent à la question étudiée. Si des individus observés ne trouvent pas de catégorie sans ambiguïté, il faut préciser les définitions ou enrichir le découpage.
La conservation dépend du cadre. Dans l'exemple fermé, 300 personnes restent 300 après une journée. Si des entrées ou des sorties de population existent, le contrôle S + I + R = 300 n'est plus adapté ; ces mouvements doivent être ajoutés au bilan.
Pour aller plus loin
La fiche modèle SIR approfondit le fonctionnement du cadre compartimental que McKendrick a contribué à formaliser.
La note de lecture Epidémiologie mathématique : un ouvrage de référence ouvre sur le domaine moderne issu de cette rencontre entre modélisation et épidémiologie.
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