Monogène (groupe)

Imaginez les six positions numérotées de 0 à 5 sur un cadran. En partant de 0 et en avançant toujours d'une position, on finit par toutes les visiter, puis on revient à 0. Un seul déplacement, répété autant de fois qu'on le souhaite, produit donc tout le groupe ℤ/6ℤ.

L'élément répété s'appelle un générateur. Dans un groupe monogène, un tel générateur suffit pour atteindre chaque élément, y compris en répétant l'opération en sens inverse.

Soit un groupe noté G, dont l'opération est écrite multiplicativement. Le groupe G est monogène s'il possède un élément g tel que chaque élément de G soit une puissance entière de g. Autrement dit :

L'exposant entier k autorise les répétitions de l'opération, l'identité pour k = 0 et les inverses pour les entiers négatifs. En notation additive, comme dans ℤ ou ℤ/nℤ, la même définition s'écrit avec les multiples entiers kg. Si le groupe a n éléments, il est isomorphe à ℤ/nℤ ; s'il est infini, l'exemple fondamental est ℤ. Pour les groupes finis, le vocabulaire « groupe cyclique » désigne ici la même situation : le groupe est engendré par un seul élément et isomorphe à ℤ/nℤ. Deux puissances de g commutent toujours, car g^ag^b = g^a+b = g^bg^a. Tout groupe monogène est donc abélien. En analyse complexe, le mot « monogène » peut aussi qualifier une fonction holomorphe, dérivable au sens complexe en tout point.

Un groupe monogène réunit cinq données liées. Le support G contient les éléments. La loi de groupe indique comment les combiner. Un générateur g est l'élément choisi. Les entiers comptent les répétitions de g, dans le sens direct ou inverse. Enfin, l'identité correspond à zéro répétition.

La loi donne un sens aux puissances g^k, tandis que le choix de g détermine si ces puissances couvrent réellement tout G. Dans un groupe fini, le retour à l'identité ferme le cycle et fixe le nombre d'éléments distincts. Ces données suffisent à reconstruire chaque élément du groupe à partir d'un seul générateur.

Prenons le groupe additif ℤ/6ℤ. Ses données sont les six classes 0, 1, 2, 3, 4 et 5, l'addition modulo 6, et l'élément candidat 1. Additionner modulo 6 signifie remplacer 6 par 0 dès qu'un tour est achevé.

1. On part de l'identité : 0·1 = 0.
2. On ajoute 1 : 1·1 = 1.
3. Les répétitions suivantes donnent 2·1 = 2, 3·1 = 3, 4·1 = 4 et 5·1 = 5.
4. Une répétition supplémentaire donne 6·1 = 0 dans ℤ/6ℤ : le parcours recommence.

Les six éléments ont été obtenus avant le retour à 0. L'élément 1 engendre donc ℤ/6ℤ. Le contrôle se refait en vérifiant que la liste ne contient aucun doublon avant la sixième étape et qu'elle contient bien les six classes. Le schéma du cycle rend visible ce parcours complet.

Pour décrire ℤ/6ℤ, il suffit de donner le générateur 1 et d'indiquer que l'addition se fait modulo 6. Énumérer séparément toutes les additions devient inutile, puisque chaque élément est un multiple de 1.

Dans un groupe fini, pour tester un candidat, on répète l'opération jusqu'au retour à l'identité. Si tous les éléments ont été rencontrés auparavant, le candidat engendre le groupe ; sinon, ses répétitions ne décrivent qu'une partie du groupe et il faut essayer un autre élément.

Pour reconnaître qu'un groupe ne peut pas être monogène, une absence de commutativité suffit. Dès que deux éléments changent de produit lorsqu'on inverse leur ordre, aucun élément unique ne peut engendrer tout le groupe.

Un générateur et un élément quelconque. Dans ℤ/6ℤ, les multiples de 1 parcourent les six classes, tandis que ceux de 2 donnent seulement 0, 2 et 4. Appartenir au groupe ne suffit donc pas pour l'engendrer.

Un groupe monogène et une fonction monogène. En algèbre, on cherche un élément dont les puissances ou les multiples engendrent un groupe. En analyse complexe, « monogène » peut qualifier une fonction holomorphe, c'est-à-dire dérivable au sens complexe en tout point. Le contexte et la nature de l'objet tranchent immédiatement.

Le générateur n'est pas nécessairement unique. Dans ℤ/6ℤ, 1 et 5 engendrent chacun les six classes. Pour un candidat donné, il faut parcourir ses multiples jusqu'au premier retour à 0, puis compter les classes distinctes obtenues.

Le groupe réduit à l'identité est un cas limite. Il possède un seul élément, qui engendre à lui seul tout le groupe. Dans la famille ℤ/nℤ, ce cas correspond à n = 1.

La notation dépend de la loi. Les puissances g^k conviennent à une loi multiplicative ; les multiples kg conviennent à une loi additive. Mélanger les deux écritures masque l'opération réellement répétée.

La commutativité n'est qu'une condition nécessaire. Tout groupe monogène est abélien, mais constater que les produits commutent ne fournit pas encore un générateur. Il reste à exhiber un élément dont les puissances couvrent tout le groupe.

Le glossaire groupe cyclique prolonge le cas fini et précise le vocabulaire associé aux cycles.

La fiche Entiers relatifs éclaire l'exemple fondamental du groupe monogène infini et le rôle des multiples entiers.

La fiche fonction holomorphe permet de retrouver le second sens du mot « monogène » en analyse complexe.