Argmin d'une fonction

Imaginez une courbe qui descend, atteint son point le plus bas, puis remonte. L’argmin est la position horizontale de ce point bas, et non sa hauteur. Pour la fonction qui associe à un nombre x la valeur (x − 2)² + 1, la plus petite hauteur vaut 1 et elle est atteinte à la position x = 2. L’argmin est donc {2}.

Si plusieurs positions donnent exactement la même valeur minimale, l’argmin les rassemble toutes.

Soit un ensemble E, appelé domaine, et une fonction f qui associe une valeur f(x) à chaque élément x de E. L’argmin de f sur E est l’ensemble des éléments du domaine où f atteint sa plus petite valeur. En utilisant y pour désigner tout autre élément du domaine, la définition complète est :

Cette écriture suppose que la valeur minimale est effectivement atteinte dans E. Si elle ne l’est pas, l’argmin est vide. Si un seul élément atteint le minimum, on emploie souvent « l’argmin » pour parler de cet élément unique. Si plusieurs éléments l’atteignent, l’argmin est l’ensemble de ces éléments. L’argmin donne donc où le minimum est atteint, tandis que le minimum donne la valeur f(x) obtenue.

Un argmin repose sur quatre éléments. Le domaine E fixe les candidats autorisés. La variable x parcourt ces candidats. La fonction f attribue à chacun une valeur comparable. Enfin, le minimum atteint sert de critère pour retenir tous les candidats qui donnent cette valeur.

Le domaine et la fonction dépendent l’un de l’autre : changer E peut retirer un minimiseur ou en faire apparaître un autre. La valeur minimale dépend des valeurs de f, tandis que l’argmin dépend aussi des positions qui les produisent. Un tracé aide à voir ces relations, mais sa couleur, son échelle ou son orientation graphique ne définissent pas l’argmin. Ces données suffisent à former l’ensemble des minimiseurs.

On cherche l’argmin sur l’ensemble des nombres réels de la fonction f définie par f(x) = (x − 2)² + 1. Les données sont le domaine E = ℝ, la variable x et l’expression de f. La courbe associée rend visibles la position minimisante et la valeur minimale.

1. Pour tout nombre réel x, le carré (x − 2)² est positif ou nul.

2. Par conséquent, f(x) est toujours supérieure ou égale à 1.

3. Le carré s’annule exactement lorsque x = 2. On obtient alors f(2) = (2 − 2)² + 1 = 1.

4. La borne 1 est donc atteinte en un seul point : l’argmin est {2} et le minimum vaut 1. Comme contrôle, f(1) = 2 et f(3) = 2 ; ces deux valeurs voisines sont bien supérieures au minimum.

En optimisation, l’argmin répond à la question « quel choix donne le coût le plus faible ? ». Pour une expression simple comme (x − 2)² + 1, une preuve algébrique donne le résultat exact. Pour une fonction plus difficile à traiter, un procédé numérique peut rechercher un candidat minimisant.

En statistiques, on choisit un paramètre en minimisant un critère d’écart. L’argmin fournit le paramètre retenu ; la valeur minimale du critère indique seulement l’écart obtenu.

En apprentissage automatique, l’entraînement vise souvent à réduire une fonction de perte. Les paramètres recherchés forment alors un argmin, ou une approximation de celui-ci lorsque l’algorithme ne garantit pas d’atteindre le minimum global.

Argmin et minimum. L’argmin contient les entrées où la fonction est la plus petite ; le minimum est la valeur de sortie correspondante. Pour f(x) = (x − 2)² + 1, l’argmin est {2}, tandis que le minimum vaut 1.

Minimum global et minimum local. Aucune valeur de la fonction sur le domaine entier n’est inférieure à un minimum global. Un minimum local n’est le plus petit que parmi les points voisins. Sans précision contraire, l’argmin compare tous les éléments du domaine et vise les minimiseurs globaux.

Minimum non atteint. Sur l’intervalle ouvert ]0, 1[, la fonction f(x) = x peut prendre des valeurs aussi proches de 0 que souhaité, mais jamais 0. Son infimum vaut 0 et son argmin est vide. Il faut vérifier l’existence d’un minimiseur avant de chercher son unicité.

Plusieurs minimiseurs. Pour f(x) = (x² − 1)² sur ℝ, la valeur minimale 0 est atteinte en x = −1 et x = 1. L’argmin est donc {−1, 1}, et choisir arbitrairement une seule valeur perd une partie du résultat.

Domaine oublié. La fonction f(x) = (x − 2)² + 1 a pour argmin {2} sur ℝ, mais {3} sur l’intervalle [3, 5]. Toute réponse doit donc préciser l’ensemble des candidats autorisés.

Résultat numérique. Un algorithme peut renvoyer une valeur proche d’un minimiseur sans établir qu’elle est exacte ni globale. Il faut alors annoncer une approximation et contrôler le critère d’arrêt ainsi que le domaine exploré.

La fiche Minimum approfondit la valeur extrême elle-même et complète la distinction entre la hauteur minimale et les positions qui l’atteignent.

L’optimisation linéaire montre un cadre particulier où l’on cherche une valeur optimale sous des contraintes linéaires.