AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Argmax d'une fonction
L'argument maximum, noté argmax, d'une fonction désigne l'ensemble des valeurs de la variable indépendante pour lesquelles cette fonction atteint sa valeur maximale. Formellement, si f est une fonction définie sur un ensemble E, alors . L'argmax est un singleton lorsque ce maximum est atteint en un unique point ; dans le cas contraire, il peut contenir plusieurs valeurs. Cette notion est fondamentale en optimisation, en statistiques et en apprentissage automatique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer l'argmax, qui rassemble des entrées, du maximum, qui est une valeur de sortie.
- Calculer l'argmax d'une fonction quadratique sur un intervalle fermé.
- Traiter les cas où plusieurs points maximisent la fonction ou aucun point n'atteint la borne supérieure.
- Repérer les usages de l'argmax en optimisation, en statistiques et en apprentissage automatique.
En clair
Imaginons une courbe en forme de colline. Sa hauteur maximale est 5, mais l'argmax répond à une autre question : à quel endroit cette hauteur est-elle atteinte ? Pour la courbe étudiée ici, le sommet se trouve à l'abscisse 2. Le maximum vaut donc 5, tandis que l'argmax est {2}.
S'il existe plusieurs sommets de même hauteur, l'argmax rassemble tous leurs emplacements. S'il n'existe aucun point où la plus grande valeur est atteinte, l'argmax est vide.
Définition
Soit E l'ensemble des valeurs admissibles et f une fonction définie sur E, à valeurs dans un ensemble ordonné comme les nombres réels. L'argmax de f sur E est l'ensemble des points de E où f prend sa plus grande valeur. Lorsqu'un maximum existe, la définition s'écrit : . La lettre t sert seulement à parcourir le même domaine sans confondre une valeur candidate avec l'ensemble recherché.
Le résultat est donc un sous-ensemble de E, pas la valeur maximale elle-même. Si un seul point x* maximise f, on écrit couramment argmax f = x*, bien que la définition ensembliste donne {x*}. Si plusieurs points atteignent exactement la même valeur maximale, ils appartiennent tous à l'argmax.
L'existence n'est pas automatique. Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint un maximum, mais une fonction sur un domaine ouvert ou non borné peut seulement s'approcher d'une borne supérieure. Dans ce cas, si aucun point ne réalise cette borne, l'argmax est l'ensemble vide.
De quoi c'est fait
Un argmax repose sur cinq éléments. Le domaine E fixe les candidats autorisés. La variable x désigne un candidat. La fonction f attribue une valeur à chacun. Le maximum est la plus grande de ces valeurs lorsqu'elle est atteinte. Enfin, l'ensemble des maximiseurs réunit les candidats qui produisent ce maximum.
Changer le domaine peut donc changer l'argmax sans modifier la règle de f. De même, connaître la valeur maximale ne suffit pas à retrouver les points qui la produisent. Le graphe, sa couleur ou son échelle ne définissent pas l'argmax : seules comptent les valeurs de f sur le domaine choisi. Ces données suffisent à comparer les sorties et à construire l'ensemble des maximiseurs.
Un exemple, pas à pas
On cherche l'argmax de la fonction f sur l'intervalle E = [−1, 5].
Données : la variable est x ; la règle est ; les candidats vérifient −1 ≤ x ≤ 5.
Données : la variable est x ; la règle est ; les candidats vérifient −1 ≤ x ≤ 5.
1. Le carré (x − 2)2 est toujours positif ou nul.
2. Son opposé −(x − 2)2 est donc inférieur ou égal à 0.
3. Ainsi, f(x) ≤ 5 sur tout E.
4. L'égalité f(x) = 5 exige (x − 2)2 = 0, donc x = 2.
5. Comme 2 appartient à [−1, 5], ce candidat est admissible.
2. Son opposé −(x − 2)2 est donc inférieur ou égal à 0.
3. Ainsi, f(x) ≤ 5 sur tout E.
4. L'égalité f(x) = 5 exige (x − 2)2 = 0, donc x = 2.
5. Comme 2 appartient à [−1, 5], ce candidat est admissible.
Le maximum de f sur E vaut 5 et . Pour contrôler le calcul, on peut évaluer deux points symétriques : f(1) = 4 et f(3) = 4, tous deux sous la valeur 5 du sommet. La courbe permet de vérifier visuellement ce résultat.
En pratique
En optimisation, l'argmax donne la décision qui rend un objectif aussi grand que possible. Si l'on veut au contraire réduire un coût, on cherche un argmin ; le sens de l'objectif décide entre les deux.
En statistiques, un estimateur du maximum de vraisemblance choisit les paramètres situés dans l'argmax de la vraisemblance. Lorsque le logarithme est défini sur toutes les valeurs de vraisemblance considérées et que les maxima sont atteints, son argmax est le même, car le logarithme est strictement croissant. Si plusieurs paramètres maximisent le critère, une règle supplémentaire est nécessaire pour n'en retourner qu'un.
En apprentissage automatique, une liste de scores peut être convertie en décision en prenant l'indice de son plus grand score. Conserver tous les scores reste préférable lorsqu'une mesure d'incertitude est utile ou lorsque plusieurs classes sont à égalité.
À ne pas confondre
Argmax et maximum. Le maximum est une valeur de sortie ; l'argmax rassemble les entrées qui la produisent. Dans l'exemple conducteur, le maximum vaut 5 et l'argmax est {2}.
Argmax et argmin. L'argmax retient les entrées donnant la plus grande valeur, tandis que l'argmin retient celles donnant la plus petite. Pour f(x) = −(x − 2)2 + 5 sur [−1, 5], l'argmax est {2}, alors que l'argmin est {−1, 5}.
Argmax global et maximum local. Un point peut dominer seulement ses voisins sans dominer tout le domaine. Le test global compare sa valeur à celles de tous les candidats admissibles ; le test local se limite à un voisinage.
Limites et pièges
Maximum non atteint. Sur l'intervalle ouvert ]0, 1[, la fonction f(x) = x s'approche de 1 sans jamais l'atteindre. Le symptôme est qu'aucun candidat ne réalise la borne supérieure : l'argmax est vide, et il faut parler de supremum plutôt que de maximum.
Plusieurs maximiseurs. Pour la fonction h définie sur les nombres réels par h(x) = −(x2 − 1)2, la valeur maximale 0 est atteinte en −1 et en 1. L'argmax vaut donc {−1, 1} ; choisir un seul point exige une convention annoncée.
Domaine oublié. La fonction de l'exemple a pour argmax {2} sur [−1, 5], mais sur [3, 5] son argmax devient {3}. Il faut toujours écrire ou connaître l'ensemble des candidats avant de conclure.
Calcul numérique et égalités. Un logiciel peut retourner l'indice du premier score maximal ou traiter comme égales des valeurs très proches. Il faut vérifier la convention d'égalité et le traitement des ex æquo avant d'interpréter une sortie unique comme un argmax mathématique unique.
Pour aller plus loin
Maximum local. Cette notion aide à distinguer un sommet valable près d'un point d'un maximiseur sur tout le domaine.
Minimum. Ce prolongement présente l'objectif opposé et éclaire la relation entre argmax, argmin et changement de signe.
optimisation linéaire. Ce cadre montre comment chercher une valeur optimale parmi des candidats soumis à des contraintes linéaires.
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