Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Minoré
Dans un ensemble ordonné, une partie A est dite minorée s'il existe un élément m inférieur ou égal à tout élément de A : m est un minorant. Par exemple, l'intervalle ouvert (0, 1) est minoré par 0, même si 0 ne lui appartient pas. Le plus grand minorant, appelé borne inférieure ou infimum, peut donc ne pas être atteint.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un ensemble minoré à partir d'un minorant valable.
- Distinguer minorant, borne inférieure et minimum.
- Vérifier sur l'intervalle ouvert (0, 1) que l'infimum peut ne pas être atteint.
- Identifier les hypothèses qui garantissent une borne inférieure dans les réels.
En clair
Imaginez tous les nombres strictement compris entre 0 et 1. Ils peuvent se rapprocher autant que l'on veut de 0, mais aucun ne descend sous 0. Le nombre 0 forme donc un plancher pour cet ensemble : c'est un minorant.
Dire qu'un ensemble est minoré, c'est affirmer qu'un tel plancher existe. Il n'a pas besoin d'appartenir à l'ensemble, et il n'est pas forcément le seul.
Définition
Soit une partie appelée A d'un ensemble muni d'un ordre. La partie A est minorée lorsqu'il existe un élément, noté m, qui est inférieur ou égal à chacun de ses éléments. Autrement dit : . Tout élément m qui vérifie cette condition est un minorant de A.
Un même ensemble peut avoir plusieurs minorants. Dans les nombres réels, toute partie non vide et minorée possède un plus grand minorant, appelé borne inférieure ou infimum. Cette propriété d'existence est propre au cadre complet des réels ; elle ne découle pas de la seule définition d'un ensemble minoré dans un ensemble ordonné quelconque.
La borne inférieure peut appartenir à A : elle est alors le minimum de A. Elle peut aussi rester hors de A. Pour l'intervalle ouvert A = (0, 1), 0 est la borne inférieure, mais 0 n'est pas un élément de A. La notion symétrique est celle d'ensemble majoré, pour lequel un élément sert de plafond.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble A formé de tous les nombres réels strictement compris entre 0 et 1. Les données sont donc : A = (0, 1), les deux extrémités sont exclues et tout élément x de A vérifie 0 < x < 1.
1. Vérifier un minorant : pour chaque élément x de A, on a 0 ≤ x. Le nombre 0 est donc un minorant. Les nombres −1 et −2 le sont aussi.
2. Chercher le plus grand minorant : si un nombre positif b était un minorant, le nombre b/2 appartiendrait à A dès que b ≤ 1, tout en étant inférieur à b. Si b > 1, le nombre 1/2 fournit déjà un contre-exemple. Aucun nombre positif n'est donc un minorant.
3. Conclure : 0 est le plus grand des minorants, donc . Comme 0 ∉ A, cet ensemble n'a pas de minimum. Le contrôle est refaisable avec le nombre décimal 0,1 : il appartient à A et reste supérieur à 0.
En pratique
Pour montrer qu'un ensemble est minoré, on propose une valeur candidate puis on prouve qu'elle est inférieure ou égale à tous les éléments. Sur A = (0, 1), l'inégalité 0 < x donne immédiatement le minorant 0.
Pour déterminer la borne inférieure, trouver un minorant ne suffit pas : il faut encore établir qu'aucun minorant plus grand ne convient. Dans l'exemple, tout candidat positif est dépassé vers le bas par un élément de A.
Pour savoir s'il existe un minimum, on vérifie enfin si la borne inférieure appartient à l'ensemble. Si elle appartient à A, on parle de minimum ; sinon, on conserve seulement la borne inférieure.
À ne pas confondre
Minorant et borne inférieure. Un minorant est n'importe quel plancher valable ; la borne inférieure est le plus grand de ces planchers. Pour A = (0, 1), −1 et 0 sont des minorants, mais seule la valeur 0 est la borne inférieure.
Borne inférieure et minimum. Le minimum doit appartenir à l'ensemble, contrairement à la borne inférieure. Ainsi, A = (0, 1) a pour borne inférieure 0, mais n'a pas de minimum puisque 0 ∉ A.
Minoré et majoré. Un ensemble minoré possède un plancher ; un ensemble majoré possède un plafond. L'intervalle A = (0, 1) vérifie les deux propriétés : 0 le minore et 1 le majore.
Limites et pièges
Le minorant n'est pas nécessairement atteint. Le symptôme trompeur est l'absence de « plus petit élément ». Pour A = (0, 1), il faut distinguer l'infimum 0, extérieur à A, d'un minimum qui n'existe pas.
Un minorant trouvé n'est pas forcément optimal. Pour A = (0, 1), −2 prouve que A est minoré, mais ne donne pas sa borne inférieure. Il faut rechercher le plus grand de tous les minorants.
L'existence d'un infimum dépend du cadre. Dans les réels, une partie non vide et minorée admet une borne inférieure. Dans un ensemble ordonné quelconque, cette conclusion n'est pas automatique : il faut vérifier une propriété de complétude adaptée.
La partie vide demande une convention explicite. La garantie donnée pour les parties des réels exige qu'elles soient non vides. Avant de parler de leur infimum réel, il faut donc vérifier cette hypothèse.
Pour aller plus loin
La fiche Borne inférieure approfondit le passage d'un minorant quelconque au plus grand minorant.
La fiche Minimum précise le critère d'appartenance qui distingue une valeur atteinte d'un simple infimum.
La fiche Majoré présente la notion symétrique et remplace le plancher par un plafond.
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