GéométrieNotion · Glossaire
triacontaèdre rhombique tronqué
Le triacontaèdre rhombique tronqué est un polyèdre convexe obtenu en coupant les 12 sommets du triacontaèdre rhombique où cinq faces se rencontrent. Cette troncature sélective produit 12 pentagones et transforme les 30 faces losangiques en 30 hexagones, soit 42 faces. Sa structure combinatoire peut correspondre à la cage d’un isomère particulier du fullérène C80, sans être l’identification générale de toute molécule C80.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le solide par sa construction sélective.
- Vérifier le total de 42 faces.
- Distinguer la troncature sélective d'une troncature complète.
En clair
Imaginez un solide couvert de losanges. On coupe seulement les douze pointes où cinq faces se rejoignent, comme si chaque pointe était remplacée par une petite face plane. Chaque coupe forme un pentagone. Les losanges qui entouraient les pointes perdent alors leurs deux coins concernés et deviennent des hexagones. On obtient ainsi un polyèdre qui se reconnaît en comptant 12 pentagones et 30 hexagones, soit 42 faces.
Définition
Le triacontaèdre rhombique tronqué est un polyèdre convexe construit à partir d’un triacontaèdre rhombique. Sa construction ne tronque pas tous les sommets : elle vise précisément les 12 sommets auxquels cinq faces se rencontrent. La coupe de chacun de ces sommets crée une face pentagonale, donc 12 pentagones au total.
Les faces losangiques présentes avant la coupe sont également modifiées : chacune devient un hexagone. Elles forment ainsi la seconde famille de faces du solide final, tandis que les faces pentagonales proviennent des sommets coupés. Cette description porte sur la structure combinatoire annoncée par la construction ; elle ne fixe ni une échelle ni une orientation particulières.
Le mot « tronqué » demande une précision : une troncature complète de tous les sommets désignerait un autre solide. Ici, la troncature est sélective. Cette structure combinatoire peut correspondre à une cage, ou à un isomère particulier, du fullérène C80, sans identifier à elle seule toutes les molécules C80.
Un exemple, pas à pas
Pour vérifier une description nouvelle, commencez par repérer le sommet sur lequel porte la coupe : il doit s’agir d’un sommet du triacontaèdre rhombique où cinq faces se rencontrent. Ne comptez pas encore toutes les faces ; identifiez d’abord ce critère local, qui distingue la troncature sélective d’une coupe appliquée indistinctement à tous les sommets.
Passez ensuite de ce sommet à la face créée : la coupe d’un sommet où cinq faces se rencontrent forme un pentagone. Examinez enfin les faces losangiques traversées par la transformation : elles constituent la seconde famille et deviennent des hexagones. La description est donc cohérente si elle signale 12 sommets coupés, 12 faces pentagonales créées et 30 faces losangiques transformées en 30 hexagones.
Réservez le calcul pour la conclusion : recomptez séparément les deux familles obtenues, puis additionnez-les. On retrouve alors 12 faces pentagonales + 30 faces hexagonales = 42 faces, conformément à la description du polyèdre.
En pratique
Pour reconnaître ce solide dans une description, comptez d’abord les deux types de faces. La combinaison attendue est de 12 pentagones et 30 hexagones.
Pour expliquer sa construction, partez du triacontaèdre rhombique et repérez les sommets où cinq faces se rencontrent. La coupe doit porter sur ces douze sommets seulement.
En géométrie et en chimie, cette structure peut servir de modèle combinatoire pour une cage ou un isomère déterminé du fullérène C80, et non pour toutes les structures moléculaires C80. Si l’objet étudié est obtenu par une coupe de tous les sommets, utilisez une autre dénomination, car il ne s’agit pas de la construction décrite ici.
À ne pas confondre
Le triacontaèdre rhombique est le solide de départ : ses faces sont des losanges. Le triacontaèdre rhombique tronqué se distingue par les coupes ajoutées, qui produisent 12 pentagones et transforment les 30 losanges en 30 hexagones. Une description qui ne mentionne que des faces losangiques renvoie donc au solide initial.
Limites et pièges
Le piège principal concerne le mot « tronqué ». Une troncature appliquée à tous les sommets ne réalise pas cette construction : elle produit un solide différent. Le symptôme est l’absence de la sélection des 12 sommets où cinq faces se rencontrent. Il faut alors revenir à la construction sélective.
Le nombre 42 est un total de faces, pas un nombre de faces de chaque type. Le contrôle correct vérifie séparément 12 pentagones et 30 hexagones, puis additionne ces deux nombres.
Pour aller plus loin
Le triacontaèdre rhombique fournit le solide de départ : le lire permet de comprendre quelles faces losangiques sont transformées par la troncature sélective.
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