GéométrieNotion · Glossaire
antiprisme
Un antiprisme est un polyèdre dont les deux bases sont des polygones parallèles et identiques, décalés l'un par rapport à l'autre, et dont les autres faces forment une ceinture de triangles alternés reliant chaque sommet d'une base à deux sommets consécutifs de l'autre. Dans le modèle régulier, ce décalage correspond à une rotation de π/n pour des bases à n côtés. Cette structure permet de le reconnaître et de le distinguer d'un prisme, dont les faces latérales sont des quadrilatères.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux bases et la ceinture de 2n triangles.
- Compter sommets, arêtes et faces d'un antiprisme carré.
- Distinguer un antiprisme d'un prisme et reconnaître le cas régulier.
En clair
Imaginez deux carrés identiques, posés dans des plans parallèles. Faites tourner celui du dessus d'un huitième de tour, puis reliez chaque sommet du carré inférieur aux deux sommets supérieurs les plus proches. L'enveloppe obtenue comporte huit faces triangulaires entre les deux carrés : c'est un antiprisme carré.
Le décalage des bases produit une ceinture de triangles alternés. C'est ce détail visible qui distingue immédiatement cette famille de celle des prismes.
Définition
Un antiprisme est un polyèdre possédant deux bases polygonales parallèles, identiques et à n côtés. Le nombre n désigne donc le nombre de côtés de chaque base. Dans le modèle régulier, les bases sont tournées l'une par rapport à l'autre d'un angle π/n. Chaque sommet d'une base est relié à deux sommets consécutifs de l'autre base, ce qui forme une ceinture de 2n faces triangulaires.
L'antiprisme possède ainsi 2n sommets, 4n arêtes et 2n + 2 faces : les deux bases et les 2n triangles latéraux. Ces comptages décrivent sa structure, indépendamment de son orientation ou de sa taille. La figure rend visibles ces relations pour n = 4.
On parle d'antiprisme régulier lorsque les bases sont des polygones réguliers et que tous les triangles latéraux sont équilatéraux. La seule régularité des bases ne suffit donc pas. Pour n = 3, le cas régulier est l'octaèdre régulier : ses deux bases triangulaires font partie de ses huit faces triangulaires.
Un exemple, pas à pas
Prenons un antiprisme carré. Les données sont deux bases identiques de 4 côtés, une rotation de π/4 entre elles et 2 × 4 triangles latéraux. Ce modèle est assez petit pour permettre un comptage direct et complet.
1. Les deux carrés apportent 2 × 4 = 8 sommets.
2. Leurs contours apportent 2 × 4 = 8 arêtes.
3. Chaque sommet d'une base rejoint deux sommets de l'autre base. Ces liaisons donnent 2 × 4 = 8 autres arêtes, sans les compter deux fois.
4. Les 8 triangles latéraux s'ajoutent aux 2 bases, soit 10 faces.
2. Leurs contours apportent 2 × 4 = 8 arêtes.
3. Chaque sommet d'une base rejoint deux sommets de l'autre base. Ces liaisons donnent 2 × 4 = 8 autres arêtes, sans les compter deux fois.
4. Les 8 triangles latéraux s'ajoutent aux 2 bases, soit 10 faces.
On obtient donc 8 sommets, 16 arêtes et 10 faces. Un contrôle consiste à noter V le nombre de sommets, E le nombre d'arêtes et F le nombre de faces, puis à vérifier la relation d'Euler : . Le résultat 2 confirme la cohérence du comptage.
En pratique
Pour reconnaître un antiprisme sur un dessin ou un modèle, repérez d'abord deux faces identiques et parallèles. Suivez ensuite la surface latérale : si elle alterne 2n triangles reliant les bases décalées, le modèle correspond à un antiprisme.
Pour contrôler une construction, comptez les côtés d'une base, puis attendez deux fois autant de triangles latéraux. Avec une base carrée, huit triangles sont nécessaires. Si les faces latérales sont des quadrilatères, il faut plutôt examiner la définition du prisme.
Pour décider si l'antiprisme est régulier, observez séparément les bases et la ceinture. Les bases doivent être régulières, et les triangles latéraux doivent tous être équilatéraux ; satisfaire une seule de ces conditions ne suffit pas.
À ne pas confondre
Un prisme. Les deux familles ont deux bases polygonales parallèles et identiques. Le test décisif porte sur la ceinture latérale : celle d'un prisme est formée de quadrilatères, tandis que celle d'un antiprisme contient 2n triangles. Dans le modèle régulier, les bases de l'antiprisme sont tournées de π/n l'une par rapport à l'autre.
Limites et pièges
Bases régulières, solide non régulier. Deux carrés réguliers ne garantissent pas un antiprisme régulier. Si les triangles latéraux ne sont pas tous équilatéraux, le solide reste un antiprisme carré, mais il n'est pas régulier. Il faut contrôler les deux conditions séparément.
Décalage du modèle régulier. Pour un antiprisme régulier à bases de n côtés, la rotation des bases est π/n. Dans le cas carré régulier, elle vaut π/4, soit 45°. Cette valeur caractérise le modèle régulier présenté ici, mais elle n'est pas exigée pour tout antiprisme.
Bases difficiles à repérer. Dans l'octaèdre régulier, les deux bases triangulaires ressemblent aux six triangles latéraux. Le bon réflexe consiste à choisir deux faces opposées, parallèles et identiques, puis à vérifier que les six autres triangles forment la ceinture attendue pour n = 3.
Pour aller plus loin
La fiche prisme permet de comparer les deux constructions à bases parallèles et de voir comment des quadrilatères remplacent la ceinture de triangles.
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