Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
Krein-Milman (théorème de)
Le théorème de Krein-Milman est un résultat fondamental de la théorie des espaces vectoriels topologiques localement convexes. Il affirme que tout ensemble convexe compact non vide d'un tel espace est égal à l'enveloppe convexe fermée de l'ensemble de ses points extrémaux. Un point extrémal d'un convexe est un point qui ne peut pas s'écrire comme combinaison convexe stricte de deux points distincts de l'ensemble. Ce théorème généralise le fait qu'un polygone convexe est l'enveloppe convexe de ses sommets.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses exactes du théorème.
- Reconnaître un point extrémal et le distinguer d'un simple point du bord.
- Vérifier une combinaison convexe sur un triangle.
- Comprendre pourquoi la fermeture et la compacité sont indispensables.
En clair
Imaginez une plaque triangulaire pleine. Ses trois sommets suffisent à reconstruire toute la plaque : chaque point intérieur s'obtient en mélangeant les positions des sommets avec des poids positifs dont le total vaut 1. Les sommets sont les points extrémaux, car aucun ne se trouve strictement entre deux autres points de la plaque.
Le théorème de Krein-Milman étend cette idée à certains convexes beaucoup plus généraux. Même si leur bord est courbe ou si l'espace possède une infinité de dimensions, leurs points extrémaux engendrent tout l'ensemble, après fermeture.
Définition
Soit un ensemble K non vide, compact et convexe dans un espace vectoriel topologique localement convexe. Un point e de K est dit extrémal lorsque toute écriture de e comme combinaison convexe de deux points x et y de K, avec un coefficient t strictement compris entre 0 et 1, impose x = y = e. Autrement dit, e n'appartient à l'intérieur d'aucun segment non trivial contenu dans K.
On note Ext(K) l'ensemble des points extrémaux de K et conv(Ext(K)) son enveloppe convexe. Le théorème affirme : . La barre désigne la fermeture topologique. Elle garantit que les limites de combinaisons convexes finies appartiennent elles aussi au résultat.
Pour un polygone convexe, les points extrémaux sont exactement les sommets et aucune fermeture supplémentaire n'est nécessaire. Le théorème couvre aussi les convexes compacts qui possèdent une infinité de points extrémaux, comme un disque dont chaque point du cercle frontière est extrémal.
Le principe
Si K est un convexe compact non vide d'un espace vectoriel topologique localement convexe, alors K est l'enveloppe convexe fermée de ses points extrémaux. En notation, après avoir désigné par Ext(K) l'ensemble de ces points : . Ainsi, tout point de K est une limite de combinaisons convexes finies de points extrémaux.
Quand l'utiliser
Le théorème s'applique à un sous-ensemble K qui réunit quatre propriétés : K est non vide, convexe et compact, et l'espace vectoriel topologique ambiant est localement convexe. La convexité signifie que le segment joignant deux points de K reste dans K. La compacité et la topologie permettent de contrôler les limites ; la fermeture présente dans la conclusion est prise pour cette topologie.
Un disque ouvert du plan fournit un contre-cas concret : il est convexe, mais non compact, et ne contient aucun point de son cercle frontière. On ne peut donc pas lui appliquer directement l'énoncé. Il faut d'abord considérer le disque fermé si l'on veut retrouver un convexe compact engendré par ses points extrémaux.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle plein K dont les sommets sont A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Cherchons à reconstruire le point P(1 ; 1) à partir de ces trois points extrémaux. La figure matérialise le triangle, ses sommets et la position intérieure de P.
1. La coordonnée horizontale de P impose un poids de 1/4 devant B, car 1 = (1/4) × 4.
2. Sa coordonnée verticale impose un poids de 1/3 devant C, car 1 = (1/3) × 3.
3. Le poids restant devant A vaut 1 − 1/4 − 1/3 = 5/12.
4. Les trois poids 5/12, 1/4 et 1/3 sont positifs et leur somme vaut 1.
2. Sa coordonnée verticale impose un poids de 1/3 devant C, car 1 = (1/3) × 3.
3. Le poids restant devant A vaut 1 − 1/4 − 1/3 = 5/12.
4. Les trois poids 5/12, 1/4 et 1/3 sont positifs et leur somme vaut 1.
La combinaison obtenue est . Le contrôle se refait coordonnée par coordonnée : l'abscisse vaut 0 + 1 + 0 = 1 et l'ordonnée vaut 0 + 0 + 1 = 1. Le point P appartient donc bien à l'enveloppe convexe des sommets.
En pratique
Pour un polygone convexe, on repère d'abord les sommets. Tout point du polygone peut ensuite être décrit par un mélange de ces sommets. Si le contour comporte des points alignés, seuls les véritables coins sont extrémaux.
Pour un convexe compact au bord courbe, on teste si un point du bord peut être placé au milieu d'un segment contenu dans l'ensemble. S'il le peut, il n'est pas extrémal ; sinon, il peut contribuer à engendrer le convexe.
Lorsque le convexe n'est pas compact, l'énoncé de Krein-Milman n'est pas l'outil approprié. On examine alors une fermeture compacte pertinente, si le problème en fournit une, au lieu de conclure à partir des seuls points extrémaux.
À ne pas confondre
Point extrémal et point du bord. Dans un convexe non réduit à un point, tout point extrémal appartient au bord relatif, mais l'inverse est faux. Sur le côté d'un triangle, un point autre qu'un sommet est une combinaison convexe stricte des deux extrémités du côté.
Enveloppe convexe et enveloppe convexe fermée. La première rassemble les combinaisons convexes finies ; la seconde ajoute leurs points limites. Dans le triangle de l'exemple, les deux coïncident. Le théorème général conserve explicitement la fermeture.
Limites et pièges
Oublier la compacité. Le symptôme est un ensemble ouvert ou une suite de points qui s'approche d'un bord absent. Le disque ouvert du plan est convexe mais n'a pas de points extrémaux ; il ne peut donc pas être reconstruit comme leur enveloppe convexe fermée. Il faut vérifier la compacité avant d'invoquer le théorème.
Supprimer la fermeture. En dimension générale, les combinaisons convexes finies de points extrémaux peuvent seulement approcher certains points de K. La conclusion porte sur leur fermeture, pas toujours sur leur seule enveloppe convexe. Dans un polygone, cette nuance devient invisible parce que l'enveloppe de ses sommets est déjà fermée.
Chercher une décomposition unique. Le théorème garantit que les points extrémaux engendrent K, mais il n'affirme pas que chaque point possède une seule combinaison. Un point intérieur d'un carré peut recevoir plusieurs décompositions convexes ; il faut donc conclure à l'existence, sans ajouter l'unicité.
Pour aller plus loin
Extrémal (point) précise le critère qui distingue un point générateur d'un simple point situé sur le bord d'un convexe.
Enveloppe convexe développe l'opération qui reconstruit un ensemble à partir de combinaisons de points.
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