théorème de Carathéodory - géométrie -

Imaginez un point placé à l’intérieur d’un carré. On peut le fabriquer comme un mélange pondéré des quatre sommets : chaque poids est positif ou nul, et leur total vaut 1. Pourtant, dans le plan, trois sommets suffisent toujours.

Le théorème de Carathéodory généralise cette économie. Dans un espace à n dimensions, tout point obtenu en mélangeant des points d’un ensemble peut être décrit avec au plus n + 1 d’entre eux. L’ensemble de départ peut même être infini.

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n, et soit A une partie quelconque de E. L’enveloppe convexe de A est l’ensemble des points obtenus par des combinaisons convexes finies de points de A. Une combinaison est dite convexe lorsque ses coefficients sont positifs ou nuls et que leur somme vaut 1.

Le théorème affirme que, pour tout point x de cette enveloppe, il existe un entier m au plus égal à n, des points a₀, …, a_m de A et des coefficients λ₀, …, λ_m tels que :

La représentation utilise donc m + 1 points, soit au plus n + 1. Si A est contenu dans un sous-espace affine de dimension d inférieure à n, la même conclusion s’affine en d + 1 points.

Si A est une partie d’un espace vectoriel réel de dimension n et si un point x appartient à l’enveloppe convexe de A, alors x est une combinaison convexe d’au plus n + 1 points de A. En pratique, on part d’une combinaison finie quelconque représentant x et l’on élimine les points rendus redondants par une dépendance affine, sans rendre les coefficients négatifs ni changer leur somme, jusqu’à respecter cette borne.

Le cadre est un espace vectoriel réel de dimension finie n, ou un espace affine de même dimension. L’ensemble A peut être fini ou infini, borné ou non, et il n’a pas besoin d’être convexe. Il faut toutefois que le point considéré appartienne bien à l’enveloppe convexe de A. La conclusion fournit une représentation, pas son unicité.

En dimension infinie, aucune borne uniforme n + 1 n’est disponible. Par exemple, la moyenne de N vecteurs de base distincts possède N coordonnées non nulles et ne s’écrit pas avec moins de N de ces vecteurs. Il faut alors conserver une combinaison finie adaptée au point, ou employer un résultat d’approximation lorsque seule une représentation approchée est recherchée.

Données. Dans le plan, on prend les quatre sommets du carré A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) et D(0, 2), ainsi que le point P(1, 1/2). Une première représentation utilise les quatre sommets avec les poids 3/8, 3/8, 1/8 et 1/8.

1. Les quatre poids sont positifs et leur somme vaut 1. La combinaison donne bien l’abscisse 2 × (3/8 + 1/8) = 1 et l’ordonnée 2 × (1/8 + 1/8) = 1/2.

2. Comme le plan a pour dimension n = 2, le théorème garantit qu’au plus n + 1 = 3 sommets suffisent. On cherche donc une combinaison de A, B et C, en donnant un poids nul à D.

3. On obtient la représentation réduite : $P=\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B+\frac{1}{4}CP=\backslash frac12\; A+\backslash frac14\; B+\backslash frac14\; C$. Ses coefficients sont positifs et leur somme vaut 1.

Contrôle. Les coordonnées calculées sont (1/2)(0, 0) + (1/4)(2, 0) + (1/4)(2, 2) = (1, 1/2). Le point P appartient donc au triangle ABC, que la figure matérialise à l’intérieur du carré.

En optimisation convexe, une solution décrite comme un mélange de nombreux points admissibles peut être remplacée par un certificat utilisant au plus n + 1 points. Si les données vivent en réalité dans un sous-espace affine de dimension d, la borne d + 1 est préférable.

Dans un calcul géométrique, le théorème autorise à supprimer des points d’appui redondants tout en conservant exactement le même point. Si une égalité exacte n’est pas nécessaire ou si l’espace est de dimension infinie, une méthode d’approximation peut être plus adaptée.

Pour étudier une séparation convexe, cette représentation courte ramène le contrôle d’un point de l’enveloppe à un nombre borné de générateurs. Elle n’établit cependant pas, à elle seule, l’existence d’un hyperplan séparateur.

Avec le théorème d’extension de Carathéodory. Celui-ci appartient à la théorie de la mesure et construit une mesure à partir d’une mesure extérieure. La présence d’enveloppes convexes et de n + 1 points indique que la fiche traite le résultat géométrique.

Avec une combinaison linéaire. Une combinaison linéaire autorise des coefficients négatifs et n’impose pas une somme égale à 1. Par exemple, 2A − B est une combinaison linéaire, mais pas une combinaison convexe des points A et B.

Avec l’enveloppe affine. Une combinaison affine impose seulement que la somme des coefficients vaille 1. Dès qu’un coefficient est négatif, le point peut sortir de l’enveloppe convexe tout en restant dans l’enveloppe affine.

« Au plus » ne signifie pas « exactement ». Dans le plan, un point situé sur un segment peut n’utiliser que deux points, et un sommet un seul. Il ne faut pas ajouter artificiellement des points pour atteindre la borne 3.

La dimension pertinente peut être affine. Si tous les points de A sont alignés dans le plan, leur enveloppe convexe a pour dimension affine 1. Deux points suffisent alors, même si l’espace ambiant est de dimension 2.

La décomposition n’est pas forcément unique. Au centre d’un carré, les deux diagonales donnent deux combinaisons convexes différentes de deux sommets. Le théorème garantit seulement l’existence d’une représentation courte.

La borne est parfois nécessaire. À l’intérieur d’un triangle non aplati, un point qui n’est sur aucun côté ne peut pas être obtenu avec seulement deux sommets. En dimension 2, trois points peuvent donc être indispensables.

Enveloppe convexe. Approfondir l’ensemble auquel appartient le point et ses différentes descriptions géométriques.

Combinaison convexe. Revoir le rôle des coefficients positifs ou nuls dont la somme vaut 1.

La géométrie convexe. Situer le théorème parmi les méthodes et les questions de la géométrie convexe.