AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction pseudo-périodique
Une fonction réelle f, localement de carré sommable, est dite pseudo-périodique si, sur toute paire d’intervalles I et J assez longs, les normes L²(I) et L²(J) de toute combinaison linéaire de ses translatées sont équivalentes. Sa pseudo-période est la borne inférieure des réels λ pour lesquels cette équivalence vaut dès que |I| > λ et |J| > λ. Elle mesure ainsi une régularité moyenne à grande échelle, sans exiger la répétition exacte d’une fonction périodique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer répétition exacte et stabilité en norme L².
- Identifier les fonctions translatées, les combinaisons et les fenêtres qui entrent dans le critère.
- Suivre un calcul vérifiable sur deux périodes de la fonction sinus.
- Lire correctement le seuil défini comme une borne inférieure.
En clair
Imaginez un signal observé dans deux fenêtres de temps assez longues. Son tracé ne se répète pas forcément point par point, mais l'énergie moyenne de ses motifs translatés reste comparable d'une fenêtre à l'autre.
La pseudo-périodicité formalise cette stabilité à grande échelle. Elle examine toutes les sommes pondérées de copies décalées du même signal et compare leur taille au sens de L². Sa pseudo-période est la borne inférieure des seuils admissibles, au-delà desquels cette comparaison est garantie, sans que cette valeur limite soit nécessairement elle-même admissible.
Définition
Soit f une fonction d'une variable réelle, localement de carré sommable : sur tout intervalle borné, l'intégrale de |f|² est finie. Pour un décalage réel h, la translatée de f est la fonction qui associe à x la valeur f(x − h). On considère ensuite toute combinaison linéaire finie g de telles translatées.
La fonction f est pseudo-périodique lorsqu'il existe un seuil λ tel que, pour tous intervalles I et J dont les longueurs vérifient |I| > λ et |J| > λ, les normes induites sur ces combinaisons sont équivalentes. Autrement dit, pour chaque paire I, J, il existe des constantes positives c et C, indépendantes de la combinaison g, telles que .
La pseudo-période de f est la borne inférieure des seuils λ qui conviennent. La condition porte donc sur le comportement quadratique à grande échelle, et non sur une identité point par point. Elle étend ainsi la périodicité stricte, où une translation particulière reproduit exactement la fonction.
De quoi c'est fait
Cinq éléments organisent la notion. La fonction f fournit le signal de départ. La condition « localement de carré sommable » garantit que sa norme L² est calculable sur chaque intervalle borné. Les translatées f(x − h) déplacent ce signal sans en changer la forme. Leurs combinaisons linéaires finies constituent la famille entière à tester. Enfin, deux intervalles I et J assez longs servent de fenêtres de comparaison.
La longueur des fenêtres dépend du seuil λ, tandis que les constantes de comparaison doivent fonctionner pour toutes les combinaisons g dans une paire de fenêtres donnée. Ces données suffisent à décider si un seuil convient, puis à définir la pseudo-période comme la borne inférieure de tous les seuils admissibles. Le tracé ou la répétition visuelle de f ne suffit pas à lui seul.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction f définie par f(x) = sin(x). Les données sont sa période 2π, les intervalles I = [0, 2π] et J = [2π, 4π], puis une combinaison g à coefficients réels de translatées de f. Toute translatée de sin(x) est une combinaison de sin(x) et cos(x) ; il existe donc deux nombres réels A et B tels que g(x) = A sin(x) + B cos(x).
1. On élève g(x) au carré.
2. On intègre sur I, qui contient une période complète.
3. On recommence sur J, qui contient la période suivante. Le calcul donne dans les deux cas :
2. On intègre sur I, qui contient une période complète.
3. On recommence sur J, qui contient la période suivante. Le calcul donne dans les deux cas :
Les deux normes L² valent donc exactement √π × √(A² + B²). Le contrôle est refaisable en utilisant les intégrales de sin² et cos² sur une période, égales à π, et celle de leur produit, égale à 0. Cette égalité illustre l'équivalence sur ces deux fenêtres ; la définition complète exige le contrôle pour toute paire d'intervalles assez longs.
En pratique
Pour étudier un signal quasi-répétitif, on choisit plusieurs fenêtres longues et on compare les normes L² de combinaisons de ses copies décalées. Une stabilité de ces tailles motive l'étude pseudo-périodique.
Si le signal se répète exactement après un même décalage, la périodicité ordinaire décrit plus directement la situation. Si les tracés diffèrent mais que leur comportement quadratique reste comparable à grande échelle, le cadre pseudo-périodique vise précisément cette information.
En analyse spectrale, cette approche organise l'étude de signaux quasi-répétitifs sans exiger une coïncidence point par point. Le geste décisif consiste à tester toute la famille des combinaisons de translatées, et non une seule courbe choisie parce qu'elle paraît régulière.
À ne pas confondre
Une fonction périodique revient exactement à elle-même après un décalage fixe non nul : le test porte sur les valeurs en chaque point. Une fonction pseudo-périodique est caractérisée par l'équivalence de normes L² sur de longs intervalles. Ainsi, deux fenêtres dont les tracés ne coïncident pas peuvent relever du second cadre, alors que cette différence exclut une répétition périodique pour le décalage considéré.
Limites et pièges
La condition de carré-sommabilité demandée est locale. Exiger que l'intégrale de |f|² soit finie sur toute la droite ajouterait une condition absente de la définition ; il faut seulement la vérifier sur chaque intervalle borné.
La comparaison d'une seule translatée, ou d'une seule combinaison, ne suffit pas. Les mêmes bornes c et C doivent encadrer la norme de chaque combinaison linéaire finie pour la paire d'intervalles examinée. Une combinaison qui échappe à cet encadrement invalide cette paire.
Le seuil intervient avec des inégalités strictes : la propriété est exigée lorsque |I| > λ et |J| > λ. Elle n'est pas automatiquement affirmée pour une fenêtre de longueur exactement λ. Comme la pseudo-période est une borne inférieure, il faut distinguer cette valeur limite d'un seuil dont on sait qu'il est lui-même admissible.
Pour aller plus loin
La fiche fonction presque périodique présente un autre vocabulaire de périodicité non exacte et permet d'en comparer la définition avec le critère en norme L².
Un prolongement naturel consiste à étudier l'espace engendré par toutes les translatées de f. La pseudo-périodicité demande que l'observation de cet espace sur deux fenêtres assez longues fournisse des mesures de taille équivalentes.
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