Argsh

Partons du nombre 3/4. Le sinus hyperbolique transforme ln 2 en 3/4 ; Argsh effectue le trajet inverse et ramène donc 3/4 à ln 2, soit environ 0,693.

Cette opération accepte tout nombre réel, négatif, nul ou positif. Quand l’entrée augmente, le résultat augmente aussi. Les valeurs opposées donnent des résultats opposés : Argsh conserve ainsi la symétrie autour de zéro.

Le sinus hyperbolique, noté sh, est une bijection de l’ensemble des nombres réels ℝ vers ℝ. Sa fonction réciproque est l’arc sinus hyperbolique, noté Argsh. Pour un nombre réel x et un nombre réel y, la réciprocité s’écrit $y=\mathrm{Argsh}(x)⟺x=\mathrm{sh}(y)y=\backslash operatorname\{Argsh\}(x)\backslash iff\; x=\backslash operatorname\{sh\}(y)$. L’existence et l’unicité de y valent pour toute entrée réelle.

Pour tout nombre réel x, Argsh possède l’expression logarithmique et la dérivée suivantes : La quantité sous la racine est strictement positive, tout comme l’argument du logarithme. La dérivée est positive sur ℝ : Argsh est donc strictement croissante. La fonction est aussi impaire, ce qui signifie que $\mathrm{Argsh}(-x)=-\mathrm{Argsh}(x)\backslash operatorname\{Argsh\}(-x)=-\backslash operatorname\{Argsh\}(x)$.

La réciprocité échange les rôles de l’entrée et du résultat. Le cas 3/4 et ln 2 rend cet échange visible et servira au calcul détaillé.

On cherche la valeur exacte d’Argsh au nombre 3/4. Cette entrée est choisie parce que le terme sous la racine devient le carré d’une fraction simple : le calcul peut ainsi rester exact jusqu’au bout. Les données sont l’entrée x = 3/4, la formule logarithmique d’Argsh et l’identité $\mathrm{sh}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\backslash operatorname\{sh\}(t)=\backslash frac\{e^t-e^\{-t\}\}\{2\}$, où t désigne un réel.

1. On calcule d’abord le terme sous la racine : $x^2+1=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}x^2+1=\backslash frac\{9\}\{16\}+1=\backslash frac\{25\}\{16\}$.
2. Sa racine carrée vaut 5/4.
3. La somme placée dans le logarithme vaut $\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=2\backslash frac\{3\}\{4\}+\backslash frac\{5\}\{4\}=2$.
4. On obtient donc $\mathrm{Argsh}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3}{4}\right)=\ln 2\backslash operatorname\{Argsh\}\backslash !\backslash left(\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash right)=\backslash ln\; 2$, soit environ 0,693.

Le contrôle refaisable applique sh au résultat : $\mathrm{sh}(\ln 2)=\frac{2-1\mathrm{/}2}{2}=\frac{3}{4}\backslash operatorname\{sh\}(\backslash ln\; 2)=\backslash frac\{2-1/2\}\{2\}=\backslash frac\{3\}\{4\}$. On retrouve exactement l’entrée, comme l’exige une fonction réciproque. Ce retour est plus probant qu’une simple comparaison décimale, car aucune erreur d’arrondi ne peut masquer un écart.

Lorsqu’une équation a la forme sh(y) = x, Argsh isole directement l’inconnue y. Ce choix convient quand x est réel ; on écrit alors y = Argsh(x), sans restreindre le signe de x.

Pour obtenir une valeur numérique, on peut évaluer l’expression logarithmique avec une racine carrée et un logarithme. Quand les nombres se simplifient, comme pour 3/4, conserver les fractions donne une valeur exacte au lieu d’un décimal arrondi.

Pour vérifier un résultat numérique, on lui applique sh. Le calcul est cohérent si l’on retrouve l’entrée avec la précision de calcul utilisée ; pour 3/4, la valeur exacte ln 2 permet même un contrôle exact.

Argsh et arcsin. Argsh inverse le sinus hyperbolique sh, tandis qu’arcsin inverse le sinus circulaire sur un intervalle choisi. Le nombre 2 tranche immédiatement : Argsh(2) existe dans ℝ, alors qu’arcsin(2) n’y existe pas.

Argsh et Argch. Argsh accepte toute entrée réelle. Argch, réciproque du cosinus hyperbolique sur sa branche usuelle, n’accepte que les réels supérieurs ou égaux à 1. Ainsi Argsh(0) vaut 0, mais Argch(0) n’est pas définie dans ℝ.

Une entrée négative ne bloque pas le logarithme. Pour tout réel x, la racine carrée de x² + 1 est strictement supérieure à la valeur absolue de x. La somme $x+\sqrt{x^2+1}x+\backslash sqrt\{x^2+1\}$ reste donc positive, même lorsque x est négatif.

Le seuil x = 0 fixe le signe. Argsh(0) vaut 0. Une entrée positive donne un résultat positif et une entrée négative un résultat négatif, car la fonction est strictement croissante et impaire.

Attention au calcul numérique pour une grande entrée négative. Dans l’expression logarithmique, l’addition de x et de la racine de x² + 1 soustrait alors deux nombres proches. Pour éviter cette perte de précision, on utilise l’imparité et on calcule $\mathrm{Argsh}(x)=-\mathrm{Argsh}(-x)\backslash operatorname\{Argsh\}(x)=-\backslash operatorname\{Argsh\}(-x)$.

La dérivée d’une réciproque ne se prend pas au même point. Il faut évaluer la dérivée de sh au résultat Argsh(x), et non directement en x. Cette règle conduit bien à ${\mathrm{Argsh}}^{\mathrm{\prime }}(x)=1\mathrm{/}\sqrt{x^2+1}\backslash operatorname\{Argsh\}\text{'}(x)=1/\backslash sqrt\{x^2+1\}$.

fonction réciproque — Pour replacer Argsh dans le mécanisme général qui échange les entrées et les sorties d’une bijection.

Fonction impaire — Pour approfondir la symétrie qui relie les valeurs d’Argsh en x et en −x.