AnalyseNotion · Glossaire
Argth
La fonction Argth (arc tangente hyperbolique) effectue l'opération inverse de la tangente hyperbolique th : elle retrouve le réel dont th a produit une valeur donnée. Dans les nombres réels, cette valeur doit appartenir à l'intervalle ouvert ]−1, 1[. Pour calculer Argth(x), on commence donc par vérifier que x est strictement compris entre −1 et 1.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Argth comme la réciproque de la tangente hyperbolique.
- Appliquer sa formule à x = 0,6 et contrôler le résultat.
- Connaître sa dérivée, son domaine réel et son comportement près de −1 et 1.
- Distinguer Argth de l'arctangente et de l'inverse multiplicatif de th.
En clair
Une calculatrice affiche parfois « tanh » pour la tangente hyperbolique. Si cette fonction transforme un nombre en 0,6, Argth effectue le trajet inverse : elle retrouve le nombre de départ. Ici, ce nombre est environ 0,693.
Cette opération inverse n'accepte que des valeurs strictement comprises entre −1 et 1. Quand la valeur donnée se rapproche de l'une de ces bornes, le résultat d'Argth grandit sans limite en valeur absolue.
Définition
La fonction Argth, aussi appelée arc tangente hyperbolique, est la fonction réciproque de la tangente hyperbolique, notée th en français et souvent tanh sur les calculatrices. La fonction th envoie chaque nombre réel sur une unique valeur de l'intervalle ouvert ]−1, 1[. En sens inverse, Argth envoie chaque nombre de ]−1, 1[ sur un unique réel.
Pour un réel x tel que |x| < 1, sa définition logarithmique est . Le quotient est alors strictement positif, ce qui rend le logarithme réel bien défini. La dérivée, pour tout x de ce domaine, est . Elle est positive : Argth est donc strictement croissante.
Argth est une fonction impaire : Argth(−x) = −Argth(x). Elle tend vers +∞ lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, et vers −∞ lorsque x tend vers −1 par valeurs supérieures. Elle apparaît notamment en physique relativiste et en traitement du signal.
Un exemple, pas à pas
On cherche le réel dont la tangente hyperbolique vaut 0,6. La donnée est x = 0,6, avec −1 < 0,6 < 1 ; la formule d'Argth peut donc être appliquée.
1. Calculez le numérateur et le dénominateur : 1 + 0,6 = 1,6 et 1 − 0,6 = 0,4.
2. Formez leur quotient : 1,6 ÷ 0,4 = 4.
3. Appliquez le logarithme puis divisez par 2 : .
2. Formez leur quotient : 1,6 ÷ 0,4 = 4.
3. Appliquez le logarithme puis divisez par 2 : .
Le résultat exact est ln(2), soit environ 0,6931. Pour le contrôler, on utilise la formule de la tangente hyperbolique : . La fonction inverse ramène bien à la donnée initiale.
En pratique
Sur une calculatrice scientifique, Argth peut apparaître sous le nom tanh−1 ou atanh. On l'emploie lorsqu'une tangente hyperbolique est connue et que l'on cherche son argument. Il faut d'abord vérifier que l'entrée est strictement comprise entre −1 et 1.
En physique relativiste, Argth intervient quand une grandeur comprise entre −1 et 1 doit être convertie en un paramètre réel non borné. Si la grandeur sort de cet intervalle, Argth réelle n'est pas l'outil adapté.
En traitement du signal, la fonction peut inverser une transformation de type tangente hyperbolique. Le contrôle utile consiste à réappliquer th : le résultat doit restituer la valeur d'entrée à la précision numérique choisie.
À ne pas confondre
Argth et l'inverse multiplicatif de th. La notation tanh−1 désigne ici la fonction réciproque, pas le nombre 1/th(x). Pour x = 0,6, Argth(0,6) vaut environ 0,6931, tandis que 1/th(0,6) est une autre opération.
Argth et arctangente. Argth inverse la tangente hyperbolique ; arctan inverse la tangente trigonométrique. Le domaine réel les sépare immédiatement : Argth exige une entrée dans ]−1, 1[, alors qu'arctan accepte tout réel.
Limites et pièges
Aux bornes. Les nombres −1 et 1 n'appartiennent pas au domaine réel d'Argth. Le dénominateur 1 − x s'annule en 1, et le quotient logarithmique ne fournit pas de valeur réelle finie aux bornes. Il faut parler de limites : −∞ vers −1 par la droite et +∞ vers 1 par la gauche.
Hors de l'intervalle. Pour |x| > 1, le quotient (1 + x)/(1 − x) est négatif. Son logarithme n'est pas défini dans les nombres réels ; un calcul complexe demanderait un autre cadre et des conventions supplémentaires.
Près de ±1. La dérivée 1/(1 − x2) devient très grande. Une faible erreur sur x peut alors produire une forte variation du résultat. Il faut conserver davantage de chiffres et interpréter les décimales selon la précision de la donnée.
Pour aller plus loin
La fiche fonction réciproque précise les conditions qui permettent d'inverser une fonction et d'échanger son domaine avec son image.
La fiche Fonction impaire explique la symétrie qui relie ici les valeurs Argth(x) et Argth(−x).
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