Bioche Charles

En 1879, à Paris, Charles Bioche entre à l'École Normale Supérieure. Cet enseignant et collaborateur de revues mathématiques laissera surtout son nom à un outil de calcul intégral.

Devant une intégrale mêlant sinus et cosinus, les règles de Bioche évitent de choisir une substitution au hasard. On observe les symétries de l'expression : elles indiquent si le sinus, le cosinus ou la demi-tangente transforme le calcul en une fraction rationnelle plus familière.

Charles Marie Paul Bioche est un mathématicien français né à Paris le 7 septembre 1859 et mort à Ferrières-en-Brie le 19 août 1949. Entré à l'École Normale Supérieure en 1879, où il se lie avec le philosophe Bergson, il mène une carrière d'enseignant et collabore à des revues mathématiques. Il prend en 1899 la responsabilité de L'Éducation mathématique, revue fondée en 1898. Il préside la Société Mathématique de France en 1909, puis l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) de 1921 à 1923 et de 1924 à 1925.

Son nom reste attaché aux règles de Bioche. Elles concernent une intégrale dont l'intégrande est une fraction rationnelle des deux quantités cosinus de x et sinus de x : $\int F(\cos x,\sin x)dx\backslash int\; F(\backslash cos\; x,\backslash sin\; x)\backslash ,dx$. Une fraction rationnelle est ici un quotient de polynômes formés avec ces deux quantités.

La méthode examine les symétries produites quand on change le signe ou l'angle. Une symétrie adaptée révèle qu'une substitution par le cosinus ou par le sinus absorbe le facteur différentiel présent. Quand aucune simplification directe ne convient, la demi-tangente, notée t et définie par $t=\tan (x\mathrm{/}2)t=\backslash tan(x/2)$, rationalise simultanément sinus, cosinus et l'élément dx. Le choix dépend donc de l'expression entière, pas de la seule présence d'un sinus ou d'un cosinus.

Considérons l'intégrale $I=\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dxI=\backslash int\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{1+\backslash cos\; x\}\backslash ,dx$, sur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas. Les données sont le facteur sinus de x, le terme 1 + cosinus de x au dénominateur et la variable réelle x.

1. Posons u égal au cosinus de x.
2. Sa différentielle vaut du = −sin(x) dx : le numérateur et dx deviennent donc −du.
3. Le dénominateur devient 1 + u.
4. L'intégrale rationnelle obtenue se calcule directement.

Le calcul complet est : $I=-\int \frac{du}{1+u}=-\ln \mathrm{\mid }1+u\mathrm{\mid }+C=-\ln \mathrm{\mid }1+\cos x\mathrm{\mid }+CI=-\backslash int\; \backslash frac\{du\}\{1+u\}=-\backslash ln|1+u|+C=-\backslash ln|1+\backslash cos\; x|+C$, où C est une constante. Le contrôle est refaisable : dériver le résultat redonne exactement sin(x)/(1 + cos(x)) sur chaque intervalle considéré.

Quand un facteur sin(x) dx accompagne une expression rationnelle en cos(x), on essaie la substitution par le cosinus. Le signe moins de sa différentielle doit être conservé, comme dans l'exemple conducteur.

Quand un facteur cos(x) dx accompagne une expression rationnelle en sin(x), la substitution par le sinus est l'alternative naturelle. Le critère observable est la présence du facteur qui correspond exactement à la dérivée de la nouvelle variable.

Si ces deux substitutions directes ne rendent pas toute l'expression rationnelle, la demi-tangente offre un repli systématique. Il faut alors réécrire ensemble sin(x), cos(x) et dx, puis calculer l'intégrale rationnelle obtenue.

Charles Bioche et les règles de Bioche. Le premier est le mathématicien français né en 1859 ; les secondes sont la méthode de choix d'une substitution. Une date biographique concerne la personne, tandis qu'un calcul d'intégrale mobilise la méthode.

Choix de substitution et calcul de la primitive. Les règles indiquent une variable susceptible de rationaliser l'intégrale ; elles ne donnent pas à elles seules la primitive. Dans l'exemple, choisir u = cos(x) précède encore le calcul de −∫du/(1 + u).

Le domaine ne disparaît pas pendant la substitution. Dans l'exemple, 1 + cos(x) s'annule lorsque x est un multiple impair de π. La primitive s'interprète donc séparément sur chaque intervalle qui ne rencontre aucun de ces points.

La demi-tangente n'est pas définie partout. La variable $t=\tan (x\mathrm{/}2)t=\backslash tan(x/2)$ cesse d'être définie aux mêmes multiples impairs de π. On travaille localement sur un intervalle admissible et l'on vérifie ensuite le domaine de la primitive.

Un motif visuel ne suffit pas. La présence de sin(x) ne justifie pas automatiquement u = cos(x). Si le reste ne devient pas une fraction rationnelle de u, il faut tester l'autre structure ou utiliser la demi-tangente.

Changement de variables — Ce prolongement replace le choix proposé par Bioche dans la méthode générale de transformation d'une intégrale.