AnalyseFormule · Glossaire
règles de Bioche
Les règles de Bioche, établies par le mathématicien français Charles Bioche (1859–1949), aident à choisir un changement de variable pour calculer une intégrale dont l’intégrande est une fonction rationnelle de cos x et sin x. Leur principe est d’observer comment l’expression différentielle entière, y compris dx, réagit à trois transformations de x : les symétries obtenues orientent vers la substitution la plus adaptée, puis un exemple guidé montre comment passer du test au calcul.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Associer chacune des trois invariances à cos x, sin x ou tan x.
- Savoir quand employer cos(2x) ou la tangente du demi-angle.
- Refaire une primitive complète et contrôler son résultat par dérivation.
- Éviter la confusion entre parité de l’intégrande et invariance de l’expression différentielle.
En clair
Face à une intégrale mêlant sinus et cosinus, plusieurs changements de variable semblent possibles. Dans l’intégrale de sin x divisé par 1 + cos² x, le facteur sin x accompagne précisément la variation de cos x : choisir le cosinus fait disparaître la trigonométrie d’un seul geste.
Les règles de Bioche systématisent ce repérage. On transforme toute l’expression, y compris dx, en remplaçant x par −x, π − x puis π + x. Les symétries conservées indiquent la substitution la plus naturelle ; si aucune ne convient, la tangente du demi-angle reste une solution générale.
Définition
Les règles de Bioche sont un critère de choix pour une primitive trigonométrique dont l’intégrande est une fonction rationnelle du cosinus et du sinus. La lettre F désigne cette fonction rationnelle en deux variables, et l’expression différentielle à tester est . Une égalité après substitution porte sur l’ensemble de cette expression : la transformation de dx compte donc aussi.
Trois tests donnent les choix élémentaires. Si , on choisit la nouvelle variable t égale à cos x. Si , on choisit t = sin x. Si , on choisit t = tan x. Chaque choix vise à transformer l’intégrale en une fraction rationnelle plus simple.
Lorsque deux des trois égalités sont vérifiées simultanément, t = cos(2x) est le choix indiqué. Si aucune égalité n’est vérifiée, la substitution universelle produit toujours une fraction rationnelle en t, que l’on peut ensuite décomposer en éléments simples.
Le principe
Soit F une fonction rationnelle de deux variables, et soit ω l’expression différentielle obtenue en remplaçant ces variables par cos x et sin x. Il faut appliquer chaque transformation à la fois aux fonctions trigonométriques et à dx.
Aide-mémoire.
Appliquer chaque test à l’expression différentielle entière, puis utiliser la correspondance qui réussit. Les cas où plusieurs tests réussissent ou aucun ne réussit sont détaillés dans les conditions et les limites ; l’exemple guidé montre la décision en situation.
Quand l'utiliser
La méthode s’applique lorsque l’intégrande s’écrit comme une fonction rationnelle de cos x et sin x. Il faut disposer de l’expression complète, vérifier les trois transformations sur cette expression multipliée par dx, puis retenir la substitution associée à l’invariance observée. Le résultat recherché est une intégrale rationnelle dans la nouvelle variable.
Un contre-cas concret est : aucune des trois transformations ne conserve son expression différentielle. Les choix t = cos x, t = sin x ou t = tan x ne sont alors pas prescrits par Bioche ; on emploie , qui rationalise toujours sinus, cosinus et dx.
Un exemple, pas à pas
Données.
On cherche une primitive de .
La fonction rationnelle est le quotient de sa seconde variable par 1 plus le carré de sa première.
L’expression différentielle ω est cet intégrande multiplié par dx.
On cherche une primitive de .
La fonction rationnelle est le quotient de sa seconde variable par 1 plus le carré de sa première.
L’expression différentielle ω est cet intégrande multiplié par dx.
1. Sous x ↦ −x, le sinus et dx changent tous deux de signe, tandis que cos² x ne change pas. Les deux signes se compensent : .
2. Sous x ↦ π − x puis x ↦ π + x, un seul facteur change de signe. L’expression différentielle n’est donc pas conservée. Le schéma de décision permet de comparer visuellement ces trois constats.
3. Le premier test seul réussit, donc on pose t = cos x. Comme dt = −sin x dx, le calcul devient .
4. En revenant à x, une primitive est −arctan(cos x) + C. Le contrôle est refaisable : sa dérivée vaut sin x divisé par 1 + cos² x, exactement l’intégrande de départ.
En pratique
Lorsqu’un facteur sin x accompagne une expression rationnelle en cos x, le test x ↦ −x peut faire préférer t = cos x. Le geste utile consiste à vérifier aussi la transformation de dx, pas seulement l’apparence de l’intégrande.
Lorsqu’un facteur cos x accompagne une expression rationnelle en sin x, le test x ↦ π − x peut orienter vers t = sin x. Si l’expression est plutôt conservée par l’ajout de π, t = tan x devient le choix à essayer.
Si deux symétries réussissent, la règle retient t = cos(2x). Si aucun test ne réussit ou si l’inspection reste incertaine, t = tan(x/2) est l’alternative sûre : elle garantit une fraction rationnelle, même si le calcul obtenu n’est pas le plus court.
À ne pas confondre
Règles de Bioche et substitution du demi-angle. Les premières choisissent entre plusieurs variables grâce à trois tests ; la seconde pose directement t = tan(x/2). Si aucune symétrie n’est conservée, le demi-angle tranche parce qu’il fonctionne universellement, non parce qu’un test de Bioche l’aurait sélectionné.
Parité de l’intégrande et invariance de l’expression différentielle. Le critère porte sur ω, donc sur l’intégrande avec dx. Dans l’exemple guidé, l’intégrande est impair sous x ↦ −x, mais dx change aussi de signe : l’expression différentielle, elle, reste inchangée et conduit à t = cos x.
Limites et pièges
Oublier la différentielle. Le symptôme est un choix contraire au facteur qui doit devenir dt. Il faut transformer dx avec x : sous −x et π − x, son signe s’inverse ; sous π + x, il reste le même.
Deux tests réussissent. Choisir seulement cos x, sin x ou tan x manque alors le cas charnière prévu par la règle. Dès que deux des trois invariances sont simultanées, il faut essayer t = cos(2x).
Aucun test ne réussit. Ce constat ne signifie pas que l’intégrale est hors d’atteinte. Il faut revenir à t = tan(x/2), puis traiter la fraction rationnelle obtenue, au prix possible d’une décomposition en éléments simples plus longue.
Substitution locale. La tangente ou la tangente du demi-angle n’est pas définie aux mêmes points que l’expression initiale. Il faut travailler sur un intervalle où le changement de variable est défini et ajuster la constante de primitive d’un intervalle à l’autre.
Pour aller plus loin
Changement de variables — Pour replacer le choix de Bioche dans la méthode générale de substitution d’une intégrale.
fonction rationnelle — Pour reconnaître la forme algébrique obtenue après le changement de variable.
parité d'une fonction — Pour distinguer la parité d’une fonction de l’invariance d’une expression différentielle.
périodicité d'une fonction — Pour approfondir le rôle du décalage de π dans le troisième test.
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