Torseur

Une clé serre un écrou : la main pousse, mais l'effet de rotation dépend aussi de l'endroit où elle pousse. Pour décrire cette action sans perdre l'une de ces informations, on réunit la poussée totale, appelée résultante, et son effet de rotation autour d'un point, appelé moment.

Ce couple d'informations forme un torseur. Si le point d'observation change, la résultante reste la même et le moment se recalcule. Le torseur conserve ainsi une seule action mécanique tout en permettant de l'étudier depuis le point le plus commode.

Dans l'espace affine euclidien orienté de dimension 3, un torseur est déterminé par un vecteur fixe, la résultante notée R, et par un champ de vecteurs appelés moments. Le moment au point A est noté M_A. Pour deux points A et B, le vecteur BA va de B vers A. La relation de transport est :

Le symbole × désigne le produit vectoriel. Connaître R et M_A en un seul point suffit donc à reconstruire le moment en tout point. Cette loi affine entraîne l'équiprojectivité : les projections des moments en A et B sur la droite AB sont égales. En statique, R rassemble les forces et M_A leurs moments au point A, couples compris. En cinématique du solide, la résultante correspond à la vitesse angulaire et le moment à la vitesse linéaire au point choisi. Les composantes des deux vecteurs n'ont pas nécessairement la même unité ; leur association est structurée par la loi de transport, non par une addition entre elles.

Une force verticale agit sur un solide. Dans un repère orthonormé direct, le point A est l'origine, le point d'application P a pour coordonnées (2, 0, 0) m et le point B a pour coordonnées (1, 0, 0) m. La force F vaut (0, 10, 0) N. Le torseur de cette force a donc pour résultante R = F.

1. Au point A, le moment est le produit vectoriel du vecteur AP par la force F :

2. Pour transporter le moment en B, le vecteur BA vaut (−1, 0, 0) m :

3. Le contrôle direct donne BP = (1, 0, 0) m, puis BP × F = (0, 0, 10) N·m. Le résultat coïncide exactement avec le moment transporté. La figure rend visibles les bras de levier de 2 m depuis A et de 1 m depuis B.

En statique, le torseur remplace plusieurs forces et couples par leur résultante et leur moment en un point choisi. Il est préférable à une force unique lorsque des actions réparties ou un couple pur doivent être conservés.

Pour étudier l'équilibre d'un solide, on transporte les torseurs des actions au même point, puis on compare séparément les résultantes et les moments. Si une seule force et sa ligne d'action sont déjà connues, cette représentation plus simple peut suffire.

En cinématique, le torseur décrit ensemble la rotation d'un solide et la vitesse d'un de ses points. Une simple vitesse de translation suffit seulement lorsque la vitesse angulaire est nulle ; sinon, la vitesse linéaire varie avec le point considéré.

Un vecteur. Un vecteur seul ne contient pas la dépendance à un point. Deux actions peuvent avoir la même résultante mais des moments différents en A ; elles donnent alors des torseurs différents.

Un couple. En mécanique, un couple pur est un cas particulier de torseur : sa résultante est nulle et son moment est identique en tout point. Une action dont la résultante vaut 10 N, comme dans l'exemple, n'est donc pas un couple pur.

Un tenseur. Un tenseur est une application multilinéaire ou l'objet qui la représente ; il ne se reconnaît pas à une loi de transport des moments. La proximité des deux mots en français ne traduit pas une identité mathématique.

Résultante nulle. Lorsque R = 0, le terme de transport est nul : le moment ne change plus avec le point. Il faut conserver ce moment s'il est non nul, car conclure à l'absence d'action ferait disparaître un couple pur.

Moment nul en un point. Cela ne rend pas nécessairement tout le torseur nul. Dans l'exemple, le moment vaut 20 N·m en A, 10 N·m en B et 0 N·m au point P, tandis que la résultante reste 10 N partout. Il faut toujours annoncer le point de réduction.

Convention de transport. L'écriture avec BA suppose que ce vecteur va de B vers A. Si l'on emploie AB, le signe du produit vectoriel doit être inversé. Un moment transporté qui contredit le calcul direct signale souvent cette erreur de sens.

Unités mélangées. Pour un torseur d'actions mécaniques, la résultante s'exprime en newtons et le moment en newtons-mètres. Il ne faut ni additionner leurs composantes entre elles ni leur attribuer une unité commune.

Le produit scalaire de la résultante R par le moment M_A ne dépend pas du point A. En effet, le terme ajouté lors du transport est un produit vectoriel avec R, donc il est perpendiculaire à R. Cette quantité invariante aide à classer les torseurs.

Lorsque la résultante n'est pas nulle, il existe une droite centrale sur laquelle le moment est parallèle à la résultante et de norme minimale. Si l'invariant est nul, ce moment minimal est nul : le torseur est alors un glisseur.