Équiprojectif

Imaginez deux points A et B d’un solide, chacun muni d’une flèche de vitesse. Regardez seulement la part de chaque flèche dirigée le long du segment AB. Si le champ est équiprojectif, ces deux parts sont égales, même si les flèches complètes diffèrent.

Cette égalité traduit la rigidité du segment : à cet instant, une extrémité ne s’éloigne pas de l’autre dans la direction qui les relie. Une rotation peut donc changer les directions des vitesses sans allonger ni raccourcir AB.

Dans un espace affine euclidien, un champ de vecteurs associe un vecteur V(M) à chaque point M. Il est équiprojectif lorsque, pour tous points distincts A et B, les vecteurs V(A) et V(B) ont la même projection scalaire sur la droite orientée de A vers B. En notant AB le vecteur allant de A à B et « · » le symbole du produit scalaire, le critère est : $V(A)\cdot \overrightarrow{AB}=V(B)\cdot \overrightarrow{AB}V(A)\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{AB\}=V(B)\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{AB\}$. Il revient à demander $(V(B)-V(A))\cdot \overrightarrow{AB}=0\backslash bigl(V(B)-V(A)\backslash bigr)\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{AB\}=0$.

En dimension trois, après le choix d’un point origine O, tout champ de ce type s’écrit à l’aide d’un vecteur fixe Ω : Le signe dépend de la convention retenue pour le produit vectoriel et le transport entre points. Plus généralement, le terme linéaire est un endomorphisme antisymétrique. Cette antisymétrie rend la différence V(B) − V(A) perpendiculaire à AB, ce qui assure l’égalité des projections.

En cinématique du solide, Ω est la vitesse angulaire et V(M) la vitesse du point M : l’ensemble forme un torseur cinématique. Si Ω n’est pas nul, l’axe central rassemble les points où V(M) est parallèle à Ω. Le produit scalaire Ω · V(M), invariant quand M change, n’est pas nécessairement nul.

Considérons les points A de coordonnées (0, 0, 0) et B de coordonnées (3, 4, 0). Le vecteur AB vaut donc (3, 4, 0) et sa longueur vaut 5. Prenons Ω = (0, 0, 1), ainsi que V(A) = (1, 2, 3). Le champ suit la relation de transport V(M) = V(A) + Ω × AM. La figure matérialise le segment et les deux vecteurs obtenus.

1. Le produit vectoriel Ω × AB vaut (−4, 3, 0).
2. Ainsi, V(B) = (1, 2, 3) + (−4, 3, 0) = (−3, 5, 3).
3. Le produit scalaire à A vaut 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 0 = 11.
4. Le produit scalaire à B vaut −3 × 3 + 5 × 4 + 3 × 0 = 11.

Les deux projections scalaires sur la direction de AB valent donc exactement 11/5. Le contrôle est refaisable en soustrayant les vitesses : V(B) − V(A) = (−4, 3, 0), puis (−4, 3, 0) · (3, 4, 0) = −12 + 12 = 0.

En cinématique d’un solide rigide, on contrôle deux vitesses mesurées aux extrémités d’un segment. Si leurs composantes le long du segment diffèrent au-delà de la précision des mesures, un modèle de solide parfaitement rigide ne convient pas ; il faut alors envisager une déformation.

Pour transporter une vitesse d’un point A vers un point B, on utilise la vitesse angulaire Ω et la relation du torseur cinématique. Une simple copie de V(A) ne suffit pas pour le transport général entre points arbitraires ; elle suffit pour une translation, c’est-à-dire lorsque Ω est nul, et aussi lorsque le déplacement AB est parallèle à Ω.

Dans un calcul, le test le plus direct consiste à former V(B) − V(A), puis à vérifier son produit scalaire avec AB. Un résultat nul établit l’équiprojectivité pour cette paire ; il faut répéter le test ou disposer de la forme antisymétrique pour conclure sur tout le champ.

L’équiprojectivité n’est pas une égalité des vecteurs. Dans l’exemple, V(A) = (1, 2, 3) et V(B) = (−3, 5, 3) sont différents, mais leurs composantes le long de AB coïncident. Un champ constant est équiprojectif, sans être le seul cas possible.

Elle ne désigne pas non plus la projection orthogonale elle-même. La projection est une opération appliquée à un vecteur et une direction ; l’équiprojectivité est une propriété globale reliant les valeurs d’un champ en deux points. Le critère porte sur tous les segments, pas sur une direction unique fixée à l’avance.

Lorsque Ω = 0, la formule de transport donne un champ constant : le mouvement instantané est une translation. Il n’existe alors pas d’axe central unique défini par la direction de Ω, puisque cette direction est nulle.

Lorsque Ω ≠ 0, le vecteur V(M) est en général parallèle à Ω sur l’axe central, et non orthogonal. Dans l’exemple, cet axe passe par (−2, 1, 0), suit la direction de Ω et porte la vitesse (0, 0, 3). Le produit Ω · V y vaut 3.

L’orthogonalité entre Ω et V(M) correspond au cas particulier où l’invariant Ω · V est nul. Sur l’axe central, V(M) devient alors nul. Confondre ce cas de pas égal à zéro avec la situation générale ferait exclure à tort les mouvements instantanés qui associent rotation et translation selon le même axe.

La notation par produit vectoriel est propre à l’espace euclidien orienté de dimension trois. Dans un autre cadre, il faut employer l’endomorphisme antisymétrique associé ; conserver artificiellement le symbole × masquerait cette hypothèse de dimension et d’orientation.

Le glossaire Torseur replace la relation de transport dans son cadre mécanique. Le produit scalaire détaille le calcul qui compare les composantes le long de AB. Le produit vectoriel éclaire le terme Ω × AM responsable de la variation perpendiculaire au segment.