Attractif

Imaginez une valeur qui change par étapes. Elle part de 3, tombe à 0, remonte à 1,5, puis redescend à 0,75. Les écarts diminuent et les valeurs se rapprochent de 1, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous.

Le nombre 1 joue alors le rôle d'un point fixe attractif : les départs assez proches finissent par s'en approcher. « Assez proches » est essentiel, car un autre point de départ peut suivre un comportement différent.

Un système dynamique décrit l'évolution d'un état au fil du temps. Dans le cas discret d'une suite récurrente, une fonction f transforme la valeur courante en la suivante. Une valeur ℓ est un point fixe lorsque $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }f(\backslash ell)=\backslash ell$. Ce point est attractif s'il existe un voisinage de ℓ tel que toute valeur initiale choisie dans ce voisinage engendre une suite définie qui converge vers ℓ.

En notant x₀ la valeur initiale et x_n+1 = f(x_n) la récurrence, cette condition s'écrit : $\mathrm{\exists }U\ni \mathrm{\ell },\mathrm{\forall }{x}_0\in U,{\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=\mathrm{\ell }\backslash exists\; U\backslash ni\backslash ell,\backslash quad\backslash forall\; x\_0\backslash in\; U,\backslash quad\backslash lim\_\{n\backslash to+\backslash infty\}x\_n=\backslash ell$. Pour une fonction dérivable dont la dérivée est continue près de ℓ, le critère suffit à établir l'attractivité locale. Un signe positif donne souvent une approche du même côté ; un signe négatif produit une alternance autour du point fixe.

Dans un système plus général, un attracteur peut être un ensemble et non un seul point. Les trajectoires voisines s'en rapprochent sans nécessairement converger vers une position unique ; un attracteur étrange d'un système chaotique en est un exemple complexe.

On étudie la suite obtenue en répétant la fonction $f(x)=1-\frac{x-1}{2}f(x)=1-\backslash frac\{x-1\}\{2\}$. Les données sont la valeur initiale x₀ = 3, le point fixe candidat ℓ = 1 et la dérivée constante $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2}f\text{'}(x)=-\backslash frac12$.

1. Vérifions le point fixe : f(1) = 1. Le nombre 1 est donc bien fixe.

2. Calculons les premières valeurs : 3 → 0 → 1,5 → 0,75 → 1,125 → 0,9375 → 1,03125. Chaque valeur provient de l'application de f à la précédente.

3. L'écart à 1 est divisé par 2 et change de signe à chaque étape. Après n étapes, il vaut exactement $x_n-1=2{(-\frac{1}{2})}^{n}x\_n-1=2\backslash left(-\backslash frac12\backslash right)^n$.

Comme cet écart tend vers 0, la suite converge vers 1 en alternant de part et d'autre : c'est une convergence en colimaçon. Le contrôle est refaisable en vérifiant que les écarts absolus successifs sont 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625 et 0,03125.

Pour prévoir une suite récurrente, on cherche d'abord ses points fixes, puis on teste l'effet d'une petite perturbation. Si les valeurs reviennent vers le point, il est attractif ; si elles s'en éloignent, on étudie plutôt un point répulsif ou un autre régime.

Lorsque la fonction est dérivable près du point fixe, la valeur absolue de sa dérivée offre un test rapide. Une valeur strictement inférieure à 1 garantit localement l'attraction ; au seuil 1, ce test ne décide rien et il faut examiner directement les itérations.

Dans une simulation, on lance plusieurs trajectoires proches. Leur rapprochement observé suggère un attracteur, mais ne constitue pas une preuve pour tous les départs voisins ; une estimation théorique du domaine d'attraction reste nécessaire.

Attractivité et stabilité au sens de Lyapunov. L'attractivité demande que les trajectoires proches finissent par converger vers l'équilibre. La stabilité demande qu'elles restent proches à tout instant. Un équilibre peut satisfaire la première propriété sans satisfaire la seconde ; les deux doivent donc être vérifiées séparément.

Point fixe et point fixe attractif. L'égalité f(ℓ) = ℓ indique seulement que ℓ ne bouge pas. Pour f(x) = 2x, le nombre 0 est fixe, mais un départ non nul s'en éloigne : il n'est pas attractif.

Le seuil de la dérivée. Le critère est suffisant sous les hypothèses de régularité précisées, mais il n'est pas nécessaire. Si la valeur absolue vaut 1, le test est muet : pour f(x) = x − x³, le point 0 attire certains départs proches malgré f'(0) = 1. Il faut alors étudier les termes d'ordre supérieur ou les itérations.

Une propriété locale. Dire qu'un point est attractif ne signifie pas que tout départ du système y converge. Le bon objet à déterminer est son bassin d'attraction, c'est-à-dire l'ensemble des états initiaux dont les trajectoires tendent vers lui.

Une simulation finie. Des trajectoires qui se rapprochent pendant cent étapes peuvent ensuite repartir ou rejoindre un cycle. Il faut compléter l'observation par une preuve de convergence, un invariant ou une estimation qui reste valable pour tous les temps.

Un ensemble attractif n'est pas toujours un point. Sur un attracteur périodique ou étrange, la trajectoire peut continuer à circuler. Le symptôme est l'absence de convergence vers une position unique ; on mesure alors la distance à l'ensemble attracteur plutôt que la distance à un point.

Du problème des trois corps au chaos mathématique — Pour relier attracteurs étranges, sensibilité aux conditions initiales et naissance de la théorie du chaos.