Répulsif

Imaginez un point placé au centre d'une droite. Une position exactement au centre ne bouge pas, mais deux positions très proches, l'une à droite et l'autre à gauche, s'en écartent au fil du temps. Le centre est alors un équilibre répulsif.

Le mot décrit donc le devenir des trajectoires voisines, et non une force qui repousserait matériellement. Dans le modèle conducteur de cette fiche, la distance au centre double toujours après la même durée : le moindre écart initial est amplifié.

Considérons un système différentiel autonome dont l'état est représenté par un vecteur $xx$ et dont la loi d'évolution est donnée par une fonction $FF$. Un état $x_{\ast }x\_*$ est un point d'équilibre lorsque $F(x_{\ast })=0F(x\_*)=0$. Il est répulsif lorsque toute solution qui démarre assez près de cet état, sans partir exactement de lui, s'en éloigne au cours du temps. Le point d'équilibre lui-même reste immobile.

Pour un système différentiel linéaire, le critère spectral est complet. La matrice qui gouverne le système est aussi la matrice jacobienne de son champ de vecteurs. L'équilibre est une source instable si, et seulement si, chaque valeur propre de cette matrice possède une partie réelle strictement positive. Cette condition signifie que tous les modes exponentiels associés croissent vers l'avant dans le temps, même si la distance peut ne pas croître à chaque instant.

Dans un système non linéaire différentiable, le même signe strictement positif pour toutes les parties réelles des valeurs propres de la jacobienne fournit, par linéarisation locale, une source hyperbolique. Si une partie réelle est nulle, ce seul calcul ne permet plus de conclure. La notion est l'opposée temporelle d'un attracteur : les trajectoires proches fuient au lieu de converger.

On étudie une position réelle $x(t)x(t)$ à l'instant $tt$. Les données sont les suivantes : la loi d'évolution est $x^{\mathrm{\prime }}=2xx\text{'}=2x$, l'équilibre testé vaut 0 et la position initiale vaut 0,5.

1. À l'équilibre, la dérivée vaut 2 × 0 = 0. La solution qui part de 0 y reste donc.

2. Pour la position initiale 0,5, la solution est :

3. La distance à l'équilibre est donc multipliée par 2 lorsque $e^{2t}=2e^\{2t\}=2$, soit après la durée exacte $t=\frac{\ln 2}{2}t=\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{2\}$. À cet instant, la position vaut 1.

4. Le contrôle se refait avec la position initiale −0,5 : la solution $x(t)=-\mathrm{0,5}{e}^{2t}x(t)=-0\{,\}5\backslash ,e^\{2t\}$ reste négative, mais sa distance à 0 grandit de la même façon. Les deux côtés s'éloignent donc de l'équilibre, conformément à l'unique valeur propre 2, dont la partie réelle est positive.

Pour étudier un système linéaire, on calcule les valeurs propres de sa matrice. Si leurs parties réelles sont toutes strictement positives, l'équilibre est répulsif ; des signes mélangés conduisent plutôt à rechercher un point selle.

Près d'un équilibre d'un système non linéaire différentiable, on examine la jacobienne. Le test spectral convient lorsque aucune partie réelle n'est nulle. Si l'une d'elles vaut zéro, il faut étudier les termes non linéaires au lieu de forcer un verdict.

Une simulation peut rendre la fuite visible : on lance plusieurs trajectoires de part et d'autre de l'équilibre avec de petits écarts initiaux. Elle illustre le comportement, mais le critère mathématique reste nécessaire pour distinguer une vraie répulsion d'un éloignement seulement transitoire.

Un attracteur. Les trajectoires assez proches convergent vers un attracteur quand le temps avance. Elles s'écartent d'un répulsif. Dans l'équation $x^{\mathrm{\prime }}=2xx\text{'}=2x$, zéro est répulsif ; avec $x^{\mathrm{\prime }}=-2xx\text{'}=-2x$, zéro est attractif.

Un équilibre simplement instable. L'instabilité signifie que certaines trajectoires arbitrairement proches peuvent quitter le voisinage. La répulsivité exige un éloignement dans toutes les directions. Une matrice ayant une valeur propre positive et une valeur propre négative donne un point selle : il est instable, mais pas répulsif.

Un point fixe répulsif d'une suite récurrente. Le phénomène est analogue, mais le critère change. Pour une itération discrète différentiable en dimension un, une dérivée de valeur absolue strictement supérieure à 1 assure localement la répulsion ; pour un système différentiel continu linéaire, on regarde le signe des parties réelles des valeurs propres.

Partie réelle nulle. Le seuil 0 est un cas charnière. Si une valeur propre de la jacobienne a une partie réelle nulle, le test linéaire ne décide pas à lui seul de la répulsivité ; il faut examiner les termes non linéaires ou employer un autre argument de stabilité.

Signes mélangés. Une direction qui s'éloigne ne suffit pas. Si certaines parties réelles sont positives et d'autres négatives, des trajectoires s'approchent selon certaines directions et fuient selon d'autres. Le symptôme est celui d'un point selle, pas d'une source.

Temps inversé. Le verdict dépend du sens du temps. Une source pour la dynamique directe devient un attracteur pour la dynamique obtenue en remontant le temps, lorsque celle-ci est définie. Il faut donc toujours préciser le système et le sens d'évolution étudiés.

Éloignement observé trop brièvement. Une trajectoire peut d'abord s'écarter puis revenir. Quelques pas de simulation ne prouvent pas que toutes les trajectoires suffisamment proches fuient l'équilibre. On complète l'observation par un critère local ou une démonstration adaptée.

Attracteur — Pour comparer la convergence des trajectoires proches avec leur fuite autour d'une source.

Valeur propre — Pour approfondir le critère spectral appliqué à la matrice jacobienne.

Système différentiel linéaire — Pour replacer les sources, attracteurs et points selles dans le cadre où le critère est complet.