AnalyseNotion · Glossaire
taux marginal de substitution
En économie, le taux marginal de substitution (TMS) quantifie la vitesse à laquelle un consommateur est prêt à échanger une unité d'un bien contre des unités d'un autre bien, tout en maintenant le même niveau de satisfaction. Mathématiquement, le TMS en un point d'une courbe d'indifférence correspond à la valeur absolue de la dérivée de cette courbe en ce point, c'est-à-dire à la pente de la tangente à la courbe en ce point. Bien que les quantités économiques soient souvent discrètes, le recours au calcul différentiel — dérivée et pente de tangente — permet de modéliser de façon continue des phénomènes liés à de grandes quantités. Le TMS est décroissant le long d'une courbe d'indifférence convexe : plus on consomme d'un bien, moins on est enclin à sacrifier de l'autre bien pour en obtenir davantage.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le TMS comme un échange local à satisfaction constante.
- Relier le TMS à la pente signée et au rapport des utilités marginales.
- Calculer deux valeurs du TMS sur une même courbe d’indifférence.
- Reconnaître les limites dues aux pas finis, aux angles et à l’absence de convexité.
En clair
Imaginez un panier contenant des pommes et des poires. Vous ajoutez un peu de pommes et cherchez combien de poires retirer pour conserver la même satisfaction. Ce nombre dépend du panier de départ. Sur une courbe convexe, quand les pommes sont déjà abondantes, une pomme supplémentaire vaut moins de poires.
Le taux marginal de substitution mesure précisément cet échange au voisinage du panier choisi. Sur une courbe d’indifférence décroissante, il se lit comme la valeur absolue de la pente de la tangente.
Définition
Le taux marginal de substitution, abrégé TMS, est le rapport local entre la diminution du second bien et une augmentation infinitésimale du premier bien, à satisfaction constante. Il s’applique donc en un panier précis, sur une courbe d’indifférence. Si x désigne la quantité du premier bien et y celle du second, supposons que cette courbe soit dérivable et puisse localement s’écrire y en fonction de x.
La pente le long de la courbe est négative lorsque davantage de x compense moins de y. Avec la convention positive de la définition source, le TMS est sa valeur absolue : . Si la satisfaction est représentée par une fonction d’utilité dérivable U, la dérivation à utilité constante donne , lorsque le dénominateur n’est pas nul. Avec des utilités marginales positives, le TMS vaut donc leur rapport.
Le TMS est une mesure locale, issue d’un modèle continu même si les achats réels sont discrets. Sur une courbe d’indifférence convexe, il décroît lorsque x augmente : le consommateur sacrifie de moins en moins de y pour un supplément de x. Cette décroissance dépend de la convexité ; elle n’est pas une propriété de toute courbe imaginable.
Un exemple, pas à pas
Un consommateur classe ses paniers de pommes et de poires avec la fonction d’utilité U. La quantité x compte les pommes et la quantité y les poires. Données : ; le niveau de satisfaction retenu vaut 24 ; le panier A contient 4 pommes et 6 poires ; le panier B en contient 6 et 4. Les deux paniers vérifient xy = 24.
1. Sur la courbe d’indifférence de niveau 24, la quantité de poires s’écrit . Sa dérivée est .
2. Au panier A, x = 4. La pente vaut −24 ÷ 42 = −1,5. Le TMS, valeur absolue de cette pente, vaut donc 1,5 poire par pomme.
3. Au panier B, x = 6. Le TMS vaut 24 ÷ 62 = 2/3 de poire par pomme. Il a diminué entre A et B, conformément à la convexité de la courbe.
Le contrôle se refait par les utilités marginales : celle des pommes vaut y et celle des poires vaut x. Leur rapport donne 6 ÷ 4 = 1,5 en A, puis 4 ÷ 6 = 2/3 en B. Les tangentes correspondantes rendent visible cet aplatissement.
En pratique
Sur une carte de courbes d’indifférence, le TMS sert à lire un arbitrage autour d’un panier précis. Si la courbe est lisse et le déplacement très petit, on trace la tangente et on prend la valeur absolue de sa pente. Pour un déplacement visible ou des quantités indivisibles, on compare plutôt les deux paniers exacts.
Face à un échange proposé, on compare son taux au TMS du panier de départ. Dans le modèle de l’exemple, près de A, une pomme supplémentaire équivaut localement à 1,5 poire. Si l’échange porte sur une pomme entière, l’écart n’est plus infinitésimal : le calcul exact de l’utilité devient le contrôle pertinent.
À ne pas confondre
TMS et pente signée. Sur une courbe décroissante, la pente de la tangente est négative, tandis que le TMS est souvent donné comme un nombre positif. Au panier A, la pente est −1,5 et le TMS vaut 1,5. Écrire seulement « pente = TMS » sans préciser la convention crée donc une erreur de signe.
TMS et utilité marginale. Une utilité marginale mesure la variation de satisfaction associée à un seul bien. Le TMS compare les utilités marginales de deux biens pour maintenir la satisfaction. En A, elles valent 6 et 4, mais le TMS vaut leur rapport, soit 1,5.
TMS et taux marginal de transformation. Le premier décrit les préférences d’un consommateur sur une courbe d’indifférence. Le second concerne les possibilités de production. Une tangence peut les mettre en regard, mais ils ne proviennent ni de la même courbe ni des mêmes données.
Limites et pièges
Un pas fini n’est pas une variation marginale. En A, le TMS local vaut 1,5. Pourtant, passer exactement de 4 à 5 pommes sur xy = 24 fait passer les poires de 6 à 4,8 : la perte est 1,2 poire. Si le résultat change avec la taille du pas, il faut calculer les paniers exacts plutôt qu’appliquer la tangente.
Un angle n’a pas de tangente unique. Si la courbe d’indifférence présente un coude, sa dérivée n’existe pas en ce point. Le symptôme est l’existence de deux pentes latérales différentes. Il faut alors conserver ces deux valeurs ou raisonner directement sur les échanges admissibles.
La décroissance exige la convexité. Une courbe convexe comme xy = 24 donne 1,5 en A puis 2/3 en B. Sur une droite, le TMS reste constant ; sur une courbe non convexe, il peut augmenter. Il faut donc vérifier la forme de la courbe avant de conclure.
Une tangente horizontale ou verticale demande une lecture limite. Une pente nulle donne un TMS nul. Une tangente verticale ne fournit pas de dérivée finie de y par rapport à x ; le TMS peut être interprété comme infini selon la convention. Dans les deux cas, un rapport ordinaire de nombres finis est inadapté.
Pour aller plus loin
courbe d'indifférence — Lire le support géométrique sur lequel la tangente et le TMS sont définis.
fonction d'utilité — Relier un niveau de satisfaction aux courbes et aux utilités marginales du calcul.
Différents types de tangence en microéconomie — Situer le TMS dans les conditions de tangence rencontrées en microéconomie.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres