théorème d'Arrow

Trois personnes doivent classer trois options A, B et C. Chacune fournit un ordre cohérent, mais leur vote collectif peut tourner en rond : une majorité préfère A à B, une majorité préfère B à C, et une majorité préfère pourtant C à A.

Le théorème d’Arrow révèle un obstacle plus profond que ce cycle particulier. Avec au moins trois options, aucune règle de classement ne peut satisfaire ensemble toutes les exigences usuelles de cohérence, de respect des préférences individuelles et d’absence de dictateur.

Une fonction de choix social reçoit le classement individuel de chaque personne et produit un classement collectif des mêmes options. Les classements individuels et collectif sont supposés complets : toute paire d’options peut être comparée. Ils sont aussi transitifs : si A est classée devant B et B devant C, alors A doit être classée devant C.

Le domaine universel autorise tous les profils de classements individuels. Le principe de Pareto impose de classer A devant B lorsque chaque personne préfère A à B. L’indépendance des alternatives non pertinentes exige que le choix collectif entre A et B dépende seulement des préférences individuelles entre A et B. Enfin, la non-dictature exclut qu’une même personne détermine toujours le classement collectif, quelles que soient les préférences des autres.

Dès qu’il existe au moins trois options, le théorème affirme que ces exigences ne peuvent pas toutes être réunies : sous les hypothèses usuelles, Pareto et l’indépendance conduisent à une règle dictatoriale si le classement collectif doit rester complet et transitif pour tout profil. Dans la formulation standard, l’universalité porte sur les profils admissibles ; l’anonymat, qui traite les personnes symétriquement, est une exigence distincte.

Soit une collectivité qui doit classer au moins trois options. Si une règle accepte tout profil de préférences individuelles complètes et transitives, fournit toujours un classement collectif complet et transitif, respecte le principe de Pareto et vérifie l’indépendance des alternatives non pertinentes, alors cette règle possède un dictateur.

Autrement dit, si la non-dictature est exigée, au moins une autre condition doit être abandonnée ou affaiblie. Le résultat est une impossibilité de satisfaire simultanément le cahier des charges, et non l’affirmation que toute décision collective réelle est dictatoriale.

Le résultat concerne l’agrégation de classements ordinaux : chaque personne ordonne les mêmes options, et la sortie recherchée est elle-même un ordre collectif complet et transitif. Il faut au moins trois options, un domaine autorisant tous les profils, le respect unanime de Pareto et l’indépendance pour chaque comparaison par paire.

Avec seulement deux options, le seuil décisif n’est pas atteint : une règle majoritaire peut respecter les exigences sans dictateur. De même, si l’on restreint à l’avance les profils de préférences admis, l’hypothèse d’universalité disparaît ; le théorème ne permet alors plus de conclure directement. Il faut analyser la règle et le domaine restreint choisis.

Données. Trois personnes classent trois options A, B et C. La première choisit A ≻ B ≻ C, la deuxième B ≻ C ≻ A, et la troisième C ≻ A ≻ B. Le signe ≻ signifie « est préférée à ».

1. Comparons A et B. La première et la troisième personne préfèrent A à B : A l’emporte donc par deux voix contre une.

2. Comparons B et C. La première et la deuxième personne préfèrent B à C : B l’emporte également par deux voix contre une.

3. Comparons enfin C et A. La deuxième et la troisième personne préfèrent C à A : C l’emporte encore par deux voix contre une.

Les trois résultats forment le cycle collectif suivant : $A\succ B,B\succ C,C\succ AA\backslash succ\; B,\backslash quad\; B\backslash succ\; C,\backslash quad\; C\backslash succ\; A$. Il contredit la transitivité exigée d’un classement rationnel.

Contrôle. Chaque duel compte exactement trois voix et se conclut par 2 contre 1. Cet exemple illustre le paradoxe de Condorcet et motive le problème traité par Arrow ; il ne constitue pas, à lui seul, une démonstration du théorème général.

Pour concevoir une procédure de classement, le théorème sert de test de cahier des charges. Si trois options ou davantage sont en jeu, il faut préciser quelle exigence sera limitée : profils admis, indépendance, forme de la sortie ou non-dictature.

Pour auditer un résultat collectif, on peut faire varier une seule donnée à la fois. Une modification concernant une troisième option change-t-elle le classement entre A et B ? Si oui, la règle ne vérifie pas l’indépendance telle qu’Arrow la formule.

Pour lire un scrutin, il faut enfin distinguer le gagnant choisi d’un classement complet. Le théorème porte sur l’agrégation de préférences en ordre collectif ; une procédure qui désigne seulement un vainqueur pose un problème voisin, mais son analyse demande un cadre adapté.

Théorème d’Arrow et paradoxe de Condorcet. Condorcet fournit un cycle possible du vote majoritaire, comme A ≻ B ≻ C ≻ A dans l’exemple. Arrow établit une impossibilité générale pour toute règle réunissant ses hypothèses, pas seulement pour la majorité.

Dictateur technique et dirigeant politique. Chez Arrow, un dictateur est une personne dont les préférences déterminent toujours le classement collectif malgré celles des autres. Le terme décrit une propriété formelle de la règle ; il ne qualifie pas le régime politique étudié.

Deux options. La conclusion dictatoriale exige plus de deux alternatives. Avec A et B seulement, le vote majoritaire ne peut pas produire le cycle à trois sommets de l’exemple ; appliquer automatiquement Arrow serait une erreur de seuil.

Profils restreints. Si certaines configurations de préférences sont exclues, l’universalité n’est plus satisfaite. L’absence de paradoxe sur ce domaine réduit ne réfute pas le théorème : elle change une de ses hypothèses.

Anonymat et universalité. L’universalité signifie que tout profil est admissible ; l’anonymat signifie que permuter les personnes ne change pas le résultat. Les fusionner masque deux tests différents, et une règle dictatoriale échoue précisément au test d’anonymat.

Portée du verdict. Arrow ne dit pas qu’un choix collectif est impossible. Il dit que, dans le cadre des classements annoncé, toutes les propriétés demandées ne peuvent pas être conservées ensemble. Une procédure réelle doit rendre son compromis explicite.

Le paradoxe de Condorcet développe le cycle majoritaire qui sert d’exemple conducteur et montre pourquoi des préférences individuelles cohérentes peuvent produire une relation collective non transitive.

La relation d’ordre précise les propriétés de comparaison, notamment la transitivité, attendues du classement collectif dans l’énoncé d’Arrow.