Probabilités et statistiquesThéorème · Glossaire
paradoxe des deux enveloppes
Le paradoxe des deux enveloppes naît lorsque deux enveloppes contiennent des sommes inconnues, l'une valant exactement le double de l'autre, et qu'après en avoir choisi une on envisage de l'échanger. Attribuer sans justification une chance sur deux au double et une chance sur deux à la moitié du montant choisi fait paraître l'échange toujours avantageux, alors que la situation est symétrique. L'erreur consiste à traiter le montant choisi comme fixe dans les deux cas sans préciser la distribution des sommes possibles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer pourquoi le montant choisi ne peut pas être traité comme fixe dans les deux branches.
- Vérifier sur 50 € et 100 € que l’échange a un gain moyen nul avant toute observation.
- Distinguer la symétrie initiale d’un calcul conditionnel fondé sur une distribution explicite.
- Reconnaître les cas où l’espérance n’existe pas ou ne suffit pas à décider.
En clair
Deux enveloppes contiennent 50 € et 100 €, sans que vous sachiez laquelle vous avez prise. Avant de l’ouvrir, changer ne donne aucun avantage : chaque enveloppe a autant de chances de contenir la petite somme que la grande.
Le paradoxe apparaît quand le montant choisi est traité comme un nombre fixe, tout en lui attribuant deux histoires incompatibles : être la petite somme ou la grande. Le calcul séduisant mélange alors des situations qui ne donnent pas la même valeur au montant de départ.
Définition
Le paradoxe des deux enveloppes est un raisonnement trompeur sur l’espérance. Deux enveloppes contiennent des montants dont l’un vaut le double de l’autre. Une enveloppe est choisie au hasard, puis un échange est proposé. Avant toute information sur les montants, la situation est symétrique : les deux enveloppes ont la même espérance, lorsqu’elle existe.
Notons Y le montant de l’enveloppe choisie et X le plus petit des deux montants. L’événement Y = X n’a pas la même signification que l’événement Y = 2X. Écrire que l’autre enveloppe vaut 2Y ou Y/2 avec probabilité 1/2 exige une loi de probabilité sur X et, si Y est observé, un calcul conditionnel. Sans cette loi, les probabilités des deux possibilités après observation de Y ne sont pas définies.
Après observation, Y désigne précisément la valeur fixée. L’erreur consiste à attribuer sans modèle une probabilité de 1/2 à chacune des hypothèses selon lesquelles l’autre montant vaut 2Y ou Y/2. Le paradoxe ne prouve ni qu’il faut toujours échanger, ni qu’un échange est toujours inutile : une décision après ouverture peut dépendre d’une distribution correctement spécifiée.
Le principe
Si aucune enveloppe n’est ouverte et si le choix initial est aléatoire, alors échanger ne modifie pas l’espérance : les deux enveloppes jouent des rôles symétriques.
Si le montant Y est observé, il faut d’abord spécifier la loi du plus petit montant X. La décision se fonde ensuite sur l’espérance conditionnelle de l’autre montant sachant Y, et non sur l’expression 0,5 × 2Y + 0,5 × Y/2 supposée valable pour tout Y.
Quand l'utiliser
Le raisonnement de symétrie s’applique avant l’ouverture lorsque les deux enveloppes sont choisies sans biais et que les montants sont fixés selon le même mécanisme. Il faut aussi que l’espérance considérée existe pour pouvoir comparer des valeurs moyennes finies.
Après observation d’un montant, une décision exige la distribution des sommes possibles. Il faut calculer les probabilités conditionnelles que le montant vu soit le petit ou le grand. Sans distribution, attribuer 1/2 à ces deux cas n’est pas justifié. Si le mécanisme d’attribution ou le choix est corrélé aux montants, la simple symétrie est bloquée ; il faut modéliser cette dépendance.
Un exemple, pas à pas
Deux enveloppes contiennent exactement 50 € et 100 €. L’enveloppe A est choisie au hasard ; l’enveloppe B est l’autre. Aucun montant n’est observé avant la décision.
Données.
• A contient 50 € avec une probabilité de 0,5 et 100 € avec une probabilité de 0,5.
• B contient le montant restant.
• Les deux seules issues sont donc (A, B) = (50 €, 100 €) et (A, B) = (100 €, 50 €).
• A contient 50 € avec une probabilité de 0,5 et 100 € avec une probabilité de 0,5.
• B contient le montant restant.
• Les deux seules issues sont donc (A, B) = (50 €, 100 €) et (A, B) = (100 €, 50 €).
1. L’espérance de A vaut 0,5 × 50 € + 0,5 × 100 € = 75 €.
2. L’espérance de B vaut 0,5 × 100 € + 0,5 × 50 € = 75 €.
3. Le gain de l’échange vaut +50 € dans la première issue et −50 € dans la seconde.
4. Son espérance vaut 0,5 × 50 € + 0,5 × (−50 €) = 0 €.
2. L’espérance de B vaut 0,5 × 100 € + 0,5 × 50 € = 75 €.
3. Le gain de l’échange vaut +50 € dans la première issue et −50 € dans la seconde.
4. Son espérance vaut 0,5 × 50 € + 0,5 × (−50 €) = 0 €.
Le résultat est vérifiable en additionnant les deux gains opposés : ils s’annulent. L’arbre rend visible la symétrie entre les deux issues préalables de cet exemple : le montant de l’enveloppe A vaut 50 € dans l’une et 100 € dans l’autre. Après observation, en revanche, le montant observé Y reste fixé ; l’identité de l’enveloppe choisie et la valeur du plus petit montant X peuvent différer selon l’hypothèse.
Après observation : un modèle fini. Supposons maintenant que le petit montant X vaille 25 € avec une probabilité de 1/4, 50 € avec une probabilité de 1/2 ou 100 € avec une probabilité de 1/4, puis que les deux montants X et 2X soient répartis au hasard entre les enveloppes. Si l’enveloppe choisie contient 50 €, deux cas seulement restent possibles : X = 25 € et le grand montant a été choisi, de probabilité initiale 1/4 × 1/2 = 1/8 ; ou X = 50 € et le petit montant a été choisi, de probabilité initiale 1/2 × 1/2 = 1/4.
Après normalisation, les probabilités conditionnelles de ces deux cas sont 1/3 et 2/3. L’autre enveloppe contient donc 25 € avec une probabilité de 1/3 et 100 € avec une probabilité de 2/3 ; son espérance conditionnelle vaut 1/3 × 25 € + 2/3 × 100 € = 75 €. Dans ce modèle précis, échanger 50 € est avantageux en moyenne.
En pratique
Avant d’accepter un argument d’espérance, on écrit les issues complètes et leur probabilité. Cette méthode est préférable au calcul avec un montant symbolique lorsque ce montant change d’une issue à l’autre.
Si l’enveloppe reste fermée et qu’aucune information ne distingue les choix, la symétrie suffit : échanger ne crée pas d’avantage moyen.
Si un montant est révélé, on abandonne l’argument de symétrie et on cherche la distribution qui a produit les sommes. Le critère pertinent devient alors l’espérance de l’autre montant conditionnellement à la valeur observée.
À ne pas confondre
Espérance positive et gain garanti. Une espérance compare une moyenne pondérée d’issues possibles ; elle ne promet pas le résultat de chaque partie. Un échange peut avoir une espérance favorable dans un modèle conditionnel précis tout en faisant perdre dans certaines issues.
Probabilité initiale et probabilité conditionnelle. Avant de voir le montant, un choix uniforme donne une probabilité de 1/2 d’avoir pris la petite somme. Après observation, cette probabilité dépend de la loi des montants : elle ne reste pas automatiquement égale à 1/2.
Limites et pièges
Montant traité comme constant. Le symptôme est l’apparition de 1,25Y alors que Y vaut la petite somme dans une branche et la grande dans l’autre. Il faut remplacer ce calcul par la liste des issues ou par des variables distinctes.
Deux probabilités fixées à 1/2 après ouverture. Le fait qu’une enveloppe soit initialement choisie au hasard ne suffit pas. Après observation, il faut déduire les probabilités conditionnelles d’une distribution explicite des montants.
Espérance inexistante ou infinie. Certaines distributions non bornées ne donnent pas d’espérance finie. La comparaison habituelle des moyennes n’est alors pas disponible ; il faut préciser un autre critère de décision ou restreindre le modèle.
Échange répété sans information nouvelle. Refaire le même raisonnement depuis l’autre enveloppe ne crée aucune donnée. Dans l’exemple à 50 € et 100 €, chaque échange inverse seulement un gain possible de +50 € en −50 €, et réciproquement.
Pour aller plus loin
Espérance mathématique — Pour approfondir la moyenne pondérée qui soutient le raisonnement et vérifier ses conditions d’existence.
Conditionnelle (probabilité) — Pour distinguer une probabilité avant observation de celle recalculée après connaissance du montant.
Quand l'espérance mathématique se fait paradoxale — Pour replacer ce piège parmi d’autres situations où une moyenne correcte exige un modèle soigneusement posé.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres