problème de Moivre

Imaginez deux joueurs qui comptent leurs résultats après un lancer simultané. Le premier lance deux pièces, le second en lance trois, puis chacun compte ses Faces. Le second a davantage de pièces, mais il ne gagne pas à tous les coups : il faut regarder toutes les combinaisons possibles. Le problème de Moivre étudie ce type de jeu où les chances ne sont pas identiques. Il permet de comparer les gains attendus et de relier une expérience répétée à la probabilité calculée.

Un problème de Moivre est un problème de probabilité associé aux situations étudiées dans The Doctrine of Chances, ouvrage publié par Abraham de Moivre en 1718. Il porte notamment sur des expériences répétées, les probabilités composées et la comparaison de chances inégales dans un jeu de hasard.

Dans le jeu conducteur, A obtient le nombre de Faces parmi deux pièces et B le nombre de Faces parmi trois pièces. Si ces nombres sont notés a et b, A gagne lorsque a est supérieur à b, B gagne lorsque b est supérieur à a, et la partie est à égalité lorsque a et b sont égaux. Pour une pièce équilibrée, chaque suite de résultats sur les cinq pièces a la même probabilité, soit $\frac{1}{2^5}\backslash frac\{1\}\{2^5\}$. On additionne ensuite les probabilités des cas qui conduisent à chaque issue.

La méthode ne suppose pas que les deux joueurs lancent le même nombre de pièces. Si les pièces sont biaisées, il faut remplacer les probabilités élémentaires par celles qui correspondent à chaque pièce. La convergence évoquée par la source concerne une longue répétition d'expériences : elle ne signifie pas qu'un résultat isolé doit coïncider avec la probabilité théorique.

On compare, lors d'une même partie, le nombre de Faces obtenues par A avec deux pièces équilibrées et par B avec trois pièces équilibrées. Les données sont les suivantes : A peut obtenir 0, 1 ou 2 Faces ; B peut obtenir 0, 1, 2 ou 3 Faces ; les cinq pièces donnent chacune Face ou Pile avec une chance sur deux.

Chaque configuration complète des cinq pièces a une probabilité de $\frac{1}{32}\backslash frac\{1\}\{32\}$. Pour A, les nombres de configurations donnant 0, 1 et 2 Faces sont respectivement 1, 2 et 1. Pour B, les nombres correspondant à 0, 1, 2 et 3 Faces sont 1, 3, 3 et 1.

A gagne dans 6 configurations sur 32 : A obtient 1 Face et B 0, ou A obtient 2 Faces et B 0 ou 1. Ainsi, la probabilité de victoire de A vaut $\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\backslash frac\{6\}\{32\}=\backslash frac\{3\}\{16\}$.

B gagne dans 16 configurations sur 32 : B obtient strictement plus de Faces que A. Sa probabilité de victoire vaut donc $\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\backslash frac\{16\}\{32\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$. Les 10 configurations restantes sont des égalités, car $\frac{6}{32}+\frac{16}{32}+\frac{10}{32}=1\backslash frac\{6\}\{32\}+\backslash frac\{16\}\{32\}+\backslash frac\{10\}\{32\}=1$. Ce contrôle retrouve toutes les issues possibles.

Pour analyser un jeu de hasard, on commence par préciser ce qui constitue une partie et ce qui fait gagner. Dans l'exemple, une partie est le lancer simultané de deux pièces pour A et de trois pour B, et le nombre de Faces décide du résultat.

On peut ensuite énumérer les configurations ou regrouper celles qui donnent le même nombre de Faces. L'énumération convient lorsque le nombre de pièces est petit ; un calcul par probabilités composées devient préférable lorsque les répétitions se multiplient.

Enfin, on compare le résultat observé à la probabilité théorique sur une série d'expériences. Une série courte peut s'en écarter fortement ; la comparaison devient informative lorsque le nombre d'expériences augmente.

Le problème de Moivre désigne une famille de problèmes de probabilité, tandis qu'une probabilité est la valeur numérique attribuée à une issue ou à un événement. Dans l'exemple, le problème est la comparaison des deux joueurs ; $\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\backslash frac\{6\}\{32\}=\backslash frac\{3\}\{16\}$ est la probabilité calculée pour la victoire de A.

Le problème de Moivre ne se réduit pas non plus à la loi des grands nombres. La première démarche calcule des chances dans un jeu ou une expérience ; la seconde décrit ce qui arrive à une fréquence lorsque l'expérience est répétée de nombreuses fois. Une fréquence observée sur une seule partie ne tranche donc pas entre les deux notions.

Le calcul $\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\backslash frac\{6\}\{32\}=\backslash frac\{3\}\{16\}$ pour A et $\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\backslash frac\{16\}\{32\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$ pour B suppose cinq pièces équilibrées et une comparaison effectuée dans une même partie. Si les pièces sont biaisées ou si les lancers ne sont pas indépendants, les configurations ne sont plus équiprobables ; il faut alors utiliser les probabilités propres au modèle.

Une égalité n'est pas une victoire de B. Dans le jeu conducteur, elle représente 10 configurations sur 32, soit $\frac{10}{32}=\frac{5}{16}\backslash frac\{10\}\{32\}=\backslash frac\{5\}\{16\}$. Il faut donc annoncer avant le calcul si l'égalité départage la partie, la rejoue ou reste une troisième issue ; la source présente seulement la question des probabilités respectives de gain.

Enfin, la convergence d'une fréquence vers une probabilité est une propriété de séries d'expériences, non une garantie pour chaque série finie. Avec peu de parties, un écart visible entre fréquence et valeur théorique n'est pas, à lui seul, une contradiction.

Le jeu à probabilités inégales ouvre sur une question plus générale : comment comparer deux joueurs lorsque leurs règles, leurs nombres de lancers ou leurs chances élémentaires diffèrent ? La démarche reste la même : définir les issues, fixer la règle de gain, puis additionner les probabilités compatibles avec chaque résultat.

Les probabilités composées permettent d'étendre cette analyse à plusieurs expériences successives. La convergence des fréquences, mentionnée dans la source, conduit ensuite à distinguer clairement une probabilité théorique d'une régularité observée sur un grand nombre d'essais.