Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Adapté (processus)
Un processus stochastique est dit adapté à une filtration (suite croissante de tribus) si, pour chaque instant t, la variable aléatoire correspondante est mesurable par rapport à la tribu de l'instant t. En d'autres termes, la valeur du processus à l'instant t ne dépend que de l'information disponible jusqu'à cet instant. Cette propriété est fondamentale en théorie des martingales et en calcul stochastique. Elle traduit l'idée que l'on ne prédit pas l'avenir : le processus est cohérent avec le flot d'information.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la mesurabilité de chaque variable à l’information disponible au même instant.
- Vérifier l’adaptation sur un exemple de deux lancers de pièce.
- Distinguer un processus adapté d’une martingale, d’un processus prévisible et de l’indépendance.
En clair
Imaginez deux lancers successifs d’une pièce. Après le premier lancer, vous connaissez son résultat, mais pas encore celui du second. Un compteur qui indique le nombre de piles déjà observés utilise seulement l’information disponible : il est adapté.
En revanche, un affichage qui annonce dès le premier instant le résultat du second lancer regarderait vers l’avenir. Il ne serait pas adapté au même calendrier d’information. Être adapté décrit donc le lien entre un processus et ce que l’on sait à chaque instant.
Définition
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires indexées par le temps. Notons Xt sa variable à l’instant t. Une filtration est une famille croissante de tribus, notée : si l’instant s précède l’instant t, toute information présente à s reste disponible à t.
Le processus X est adapté à cette filtration lorsque chaque Xt est mesurable par rapport à la tribu . Formellement : . Cela signifie que l’information disponible à l’instant t suffit pour déterminer quels événements de la forme « Xt appartient à un ensemble donné » se réalisent.
L’adaptation est toujours relative à une filtration donnée. Un même processus peut être adapté à une filtration riche et ne pas l’être à une filtration plus pauvre. Sa filtration naturelle, engendrée par toutes ses valeurs jusqu’à t, le rend adapté par construction. Cette propriété exclut l’usage d’une information future, sans imposer à elle seule ni indépendance, ni intégrabilité, ni propriété de martingale.
Un exemple, pas à pas
On lance deux fois une pièce. Les quatre issues possibles sont PP, PF, FP et FF, où P signifie pile et F face. À l’instant 0, aucun lancer n’est connu. À l’instant 1, seul le premier résultat est connu. À l’instant 2, les deux résultats sont connus. Le processus Xt compte les piles observés jusqu’à l’instant t.
1. Avant les lancers, X0 = 0 pour toutes les issues : cette valeur constante est déterminée avec l’information initiale.
2. Après un lancer, X1 vaut 1 pour PP et PF, et 0 pour FP et FF. Les issues ayant le même premier résultat donnent donc la même valeur.
3. Après deux lancers, X2 vaut respectivement 2, 1, 1 et 0. Toute l’issue est alors connue.
2. Après un lancer, X1 vaut 1 pour PP et PF, et 0 pour FP et FF. Les issues ayant le même premier résultat donnent donc la même valeur.
3. Après deux lancers, X2 vaut respectivement 2, 1, 1 et 0. Toute l’issue est alors connue.
À chaque instant, l’information disponible détermine Xt : le processus est adapté. Le contrôle consiste à comparer deux issues encore indiscernables. À l’instant 1, PP et PF donnent toutes deux X1 = 1, tandis que FP et FF donnent toutes deux X1 = 0.
En pratique
Dans un modèle observé au fil du temps, on fixe d’abord ce que la filtration révèle à chaque date. On vérifie ensuite que la valeur annoncée par le processus peut être calculée avec ces seules observations. Si elle réclame une donnée future, il faut modifier le processus ou enrichir explicitement la filtration.
Pour étudier une martingale, l’adaptation constitue un premier contrôle. Elle ne suffit pas : il faut aussi vérifier les conditions d’intégrabilité et la relation d’espérance conditionnelle propres aux martingales.
Dans le calcul stochastique, le calendrier d’information évite qu’un modèle emploie implicitement des valeurs non encore observées. Le bon geste consiste à nommer la filtration avant de qualifier le processus, car « adapté » n’a pas de sens absolu.
À ne pas confondre
Adapté et martingale. Une martingale est notamment adaptée, mais l’adaptation seule ne règle pas l’évolution moyenne. Le compteur de piles est adapté ; sa seule adaptation ne permet pas de conclure qu’il est une martingale.
Adapté et prévisible. En temps discret, une valeur prévisible à la date t doit être déterminée par l’information disponible juste avant t. Une valeur adaptée peut dépendre de l’observation reçue à t. Le résultat du premier lancer est donc adapté à l’instant 1, mais il n’était pas connu à l’instant 0.
Adapté et indépendant. L’adaptation porte sur l’information nécessaire pour lire Xt ; l’indépendance décrit une relation probabiliste entre objets. Le compteur de piles dépend des lancers déjà observés tout en restant adapté.
Limites et pièges
La filtration est omise. Dire seulement qu’un processus est adapté laisse manquer le flot d’information de référence. Il faut préciser la filtration, même lorsqu’il s’agit de la filtration naturelle.
Une information future se glisse dans la valeur courante. Dans l’exemple, la variable qui vaut 1 si le second lancer donne pile n’est pas mesurable avec l’information de l’instant 1. Les issues PP et PF y sont encore indiscernables, mais cette variable leur attribue des valeurs différentes.
La filtration change. Enrichir l’information peut rendre un processus adapté, mais change aussi le modèle informationnel. Il faut refaire les vérifications qui dépendent de la filtration ; l’adaptation obtenue ne préserve pas automatiquement les autres propriétés étudiées.
Le temps continu demande davantage de soin. Vérifier séparément la mesurabilité de chaque Xt établit l’adaptation. Cela ne garantit pas, sans hypothèses supplémentaires, toutes les propriétés de mesurabilité conjointe utiles à certaines constructions du calcul stochastique.
Pour aller plus loin
La fiche Filtration précise la structure croissante qui formalise l’information disponible au cours du temps.
La fiche martingale prolonge l’étude vers des processus adaptés soumis à une condition sur leur évolution moyenne.
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