Temps d'arrêt

Une pièce est lancée autant de fois que nécessaire et l'on s'arrête dès que pile apparaît. Après chaque lancer, il suffit de regarder les résultats déjà obtenus pour savoir si l'arrêt a eu lieu. Le rang du premier pile est aléatoire : c'est un temps d'arrêt, avec la convention T = +∞ si pile n'apparaît jamais.

La règle essentielle est l'absence de regard vers l'avenir. Au deuxième lancer, la réponse à « l'arrêt a-t-il eu lieu au plus tard maintenant ? » doit être déterminée par les deux premiers résultats, sans connaître le troisième.

Un processus stochastique est observé au fil du temps. L'information disponible jusqu'à chaque instant est organisée en une filtration, c'est-à-dire une famille croissante de tribus. On note cette filtration (ℱ_t) et le temps aléatoire considéré T.

Le temps T est un temps d'arrêt lorsque, pour tout instant t, l'événement « T est inférieur ou égal à t » appartient à l'information ℱ_t déjà disponible : $\{T\le t\}\in {\mathcal{F}}_t\backslash \{T\backslash le\; t\backslash \}\backslash in\backslash mathcal\{F\}\_t$. Autrement dit, à l'instant t, on peut décider si l'arrêt s'est produit sans utiliser une observation postérieure à t. Cette condition de mesurabilité est la propriété qui définit la notion.

En temps discret, T prend des valeurs entières positives, comme le rang d'un lancer, ou la valeur +∞ si l'arrêt ne se produit jamais. En temps continu, T prend de même des valeurs réelles positives ou +∞. Dans les deux cadres, la filtration choisie compte autant que la règle : un même temps aléatoire peut satisfaire le critère avec une information disponible et échouer avec une autre. Les temps d'arrêt sont notamment le cadre du théorème d'arrêt de Doob et de l'étude des martingales.

Une pièce est lancée jusqu'à la première apparition de pile. Le temps T est le rang de cette première apparition, avec la convention T = +∞ si pile n'apparaît jamais au cours de la suite infinie de lancers. Pour une réalisation donnée, les résultats successifs sont face, face, puis pile. Les données sont donc les trois résultats observés, dans cet ordre, et la règle « arrêter au premier pile ».

1. Après le premier lancer, seul face est connu. L'arrêt n'a pas eu lieu.
2. Après le deuxième lancer, les deux faces sont connues. L'arrêt n'a toujours pas eu lieu.
3. Le troisième lancer donne pile. La règle déclenche alors l'arrêt.
4. Pour cette réalisation, T = 3 lancers.

Le contrôle se refait instant par instant. Pour décider si T ≤ 2, les deux premiers résultats suffisent : ils valent face, face, donc la réponse est non. Pour décider si T ≤ 3, les trois premiers résultats suffisent : pile est apparu, donc la réponse est oui. Aucun quatrième lancer n'intervient.

Dans une suite potentiellement infinie de lancers, on peut arrêter l'observation au premier pile, avec la convention T = +∞ si pile n'apparaît jamais. Si la règle exige au contraire de connaître le dernier pile d'une série dont la fin n'est pas encore connue, ce temps ne convient pas : la décision réclame le futur.

Pour analyser une règle d'arrêt, on fixe un instant t et on dresse la liste des observations accessibles jusque-là. On vérifie ensuite si elles suffisent à trancher l'événement T ≤ t dans tous les cas.

Dans l'étude d'une martingale, un temps d'arrêt formalise le moment aléatoire où l'on interrompt l'observation. Avant d'invoquer un résultat d'arrêt, il faut aussi vérifier ses hypothèses propres ; le seul fait que T soit un temps d'arrêt ne suffit pas à garantir toute conclusion.

Temps aléatoire quelconque. Il attribue lui aussi un instant à chaque réalisation, mais il n'est un temps d'arrêt que si l'événement T ≤ t est décidé avec l'information disponible à t. Le dernier pile d'une série observée jusqu'à une fin future est un temps aléatoire, mais sa reconnaissance peut exiger les lancers suivants.

Durée écoulée. Une durée mesure un intervalle entre deux instants ; un temps d'arrêt désigne l'instant aléatoire auquel une règle autorisée déclenche l'arrêt. Dans l'exemple, « trois lancers » décrit la valeur prise par T, tandis que le critère porte sur les informations utilisées pour obtenir cette valeur.

Un regard même minime vers l'avenir invalide le critère. Au temps t = 2, une règle qui attend le troisième lancer pour décider si elle s'est arrêtée avant ou au deuxième ne définit pas un temps d'arrêt pour l'information des deux premiers lancers. Il faut reformuler la règle avec les seules observations déjà disponibles.

La filtration ne peut pas rester implicite. Le symptôme est une décision réputée possible alors que l'observation nécessaire n'appartient pas encore à ℱ_t. Il faut préciser ce qui est connu à chaque instant, puis tester l'appartenance de l'événement T ≤ t à cette information.

Le théorème d'arrêt de Doob n'est pas une permission automatique. Reconnaître un temps d'arrêt établit une condition de cadre, pas toutes les hypothèses du théorème employé. Il faut identifier la version exacte du résultat et contrôler séparément les conditions demandées à la martingale et au temps d'arrêt.

La Filtration précise la croissance de l'information qui rend le critère d'arrêt vérifiable.

La fiche martingale présente le type de processus auquel les temps d'arrêt sont étroitement associés.

La variable aléatoire éclaire la nature mathématique du temps T avant l'ajout de la condition d'arrêt.

L'Conditionnelle (espérance) prolonge l'étude de l'information disponible, centrale dans la théorie des martingales.