Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Contraire (événement)
En théorie des probabilités, l'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement A est l'événement constitué de toutes les issues de l'expérience aléatoire n'appartenant pas à A. Il est noté Ā, Aᶜ ou Ω ∖ A. La probabilité de l'événement contraire vérifie P(Aᶜ) = 1 − P(A). L'événement contraire de l'événement certain est l'événement impossible, et réciproquement.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les issues qui composent le contraire d'un événement.
- Calculer P(Ā) en retranchant P(A) à 1.
- Distinguer des événements contraires de simples événements incompatibles.
- Traiter les cas de l'événement certain et de l'événement impossible.
En clair
On lance un dé à six faces et l'on observe le nombre obtenu. Si l'événement choisi est « obtenir au moins 5 », il se produit avec 5 ou 6. Son événement contraire rassemble tous les autres résultats : 1, 2, 3 ou 4.
Les deux événements couvrent ainsi tous les cas possibles sans jamais se produire ensemble. Connaître la probabilité de l'un suffit donc pour trouver celle de l'autre en retranchant à 1.
Définition
Dans une expérience aléatoire, l'univers, noté Ω, rassemble toutes les issues possibles. Pour un événement A inclus dans cet univers, l'événement contraire, aussi appelé événement complémentaire, contient exactement les issues de Ω qui n'appartiennent pas à A. Il se note notamment Ā, Ac ou Ω ∖ A.
A et son contraire ne peuvent pas se réaliser simultanément, et leur réunion est l'univers entier. En notant P(A) la probabilité de A et P(Ā) celle de son contraire, ces deux propriétés donnent . Cette identité vaut quelle que soit la manière dont les probabilités sont réparties entre les issues.
Le contraire de l'événement certain Ω est l'événement impossible, c'est-à-dire l'ensemble vide ∅. Réciproquement, le contraire de ∅ est Ω. Prendre deux fois le contraire ramène à l'événement initial.
Un exemple, pas à pas
Un dé équilibré à six faces est lancé une fois.
L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L'événement A est « obtenir au moins 5 ».
Les six issues ont la même probabilité.
L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
L'événement A est « obtenir au moins 5 ».
Les six issues ont la même probabilité.
1. A contient les deux issues 5 et 6. Sa probabilité est donc .
2. Le contraire de A contient toutes les issues restantes : Ā = {1, 2, 3, 4}. Il compte quatre issues sur six.
3. La règle du complément donne . Le comptage direct confirme le résultat : 4/6 = 2/3.
4. Le contrôle final consiste à additionner les deux probabilités : 1/3 + 2/3 = 1. La répartition des six faces montre aussi que chaque issue appartient à un seul des deux événements.
En pratique
Pour calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois un résultat au cours de plusieurs essais, on peut calculer celle de n'en obtenir aucun, puis retrancher à 1. Cette voie est préférable lorsque le cas « aucun » se décrit plus simplement que tous les cas favorables.
Dans un contrôle de qualité, la probabilité qu'un objet présente au moins un défaut peut être obtenue à partir de la probabilité qu'il n'en présente aucun. Un comptage direct reste plus naturel si les objets défectueux sont déjà recensés.
Pour vérifier un calcul, on additionne la probabilité d'un événement et celle de son contraire. Une somme différente de 1 signale une issue oubliée, comptée deux fois ou une erreur arithmétique.
À ne pas confondre
Événements incompatibles. Deux événements incompatibles ne se produisent jamais ensemble, mais ils ne couvrent pas forcément tout l'univers. Avec un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 2 » sont incompatibles sans être contraires, puisque les issues 3, 4, 5 et 6 restent hors des deux.
Probabilité conditionnelle. Le contraire de A remplace A par toutes les issues hors de A dans le même univers. Lorsque P(B) > 0, conditionner par un événement B restreint au contraire l'univers observé aux cas où B s'est produit. Le critère est donc le geste effectué : exclure A, ou supposer B réalisé.
Limites et pièges
L'univers doit être fixé. Le contraire d'un même ensemble change si l'univers change. Si A = {5, 6}, son contraire vaut {1, 2, 3, 4} dans Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mais il ne peut pas être déterminé sans connaître Ω.
Les cas extrêmes restent inclus. Si A est l'événement certain Ω, alors Ā est l'événement impossible ∅, avec des probabilités respectives 1 et 0. Si A = ∅, la situation s'inverse. Dans certains modèles infinis, une probabilité 0 ne suffit toutefois pas à prouver qu'un événement est vide, ni une probabilité 1 qu'il est égal à Ω.
La notation doit rester lisible. Une barre mal placée peut faire croire qu'elle porte sur une partie seulement d'une expression. Il faut nommer l'événement visé ou employer Ac quand la portée graphique de la barre est ambiguë.
Une somme égale à 1 ne suffit pas toujours. Pour conclure que B est le contraire de A, il faut aussi vérifier que A et B sont incompatibles et couvrent tout Ω. Deux probabilités qui s'additionnent à 1 ne prouvent pas, à elles seules, cette relation entre les événements.
Pour aller plus loin
Événement — Pour replacer le contraire parmi les sous-ensembles d'issues auxquels une probabilité est attribuée.
Certain (événement) — Pour approfondir le cas extrême dont la probabilité vaut 1 et dont le contraire est impossible.
complémentaire d'un ensemble — Pour relier la construction probabiliste à l'opération ensembliste effectuée relativement à un ensemble de référence.
Conditionnelle (probabilité) — Pour distinguer le retrait des issues de A du changement d'univers produit par une condition.
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