Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Certain (événement)
En théorie des probabilités, un événement certain est un événement qui se réalise toujours, quelle que soit l'issue de l'expérience aléatoire. Il correspond à l'univers tout entier de l'expérience aléatoire, souvent noté Ω. Sa probabilité est par définition égale à 1. L'événement certain est l'opposé de l'événement impossible, dont la probabilité est 0. C'est l'un des axiomes fondamentaux de la théorie des probabilités.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'événement certain à l'univers de l'expérience aléatoire.
- Vérifier sur un dé à six faces pourquoi sa probabilité vaut exactement 1.
- Distinguer un événement certain d'un événement qui se produit presque sûrement.
- Repérer les erreurs liées aux arrondis et à un univers incomplet.
En clair
Lançons un dé classique à six faces et regardons l'événement « obtenir un nombre de 1 à 6 ». Quel que soit le résultat visible, il appartient à cette liste. L'événement se produit donc à chaque lancer : il est certain.
La certitude vient ici de l'ensemble des résultats possibles, pas d'une prédiction de la face obtenue. On ignore encore le résultat précis, mais on sait qu'il sera 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Définition
Une expérience aléatoire possède un univers, généralement noté par la lettre grecque oméga , qui rassemble toutes ses issues possibles. Un événement est un ensemble d'issues. L'événement certain est l'univers lui-même : il contient chaque issue que l'expérience peut produire.
Dans un espace probabilisé, la probabilité est notée P. L'axiome de normalisation impose . Ainsi, l'événement certain a toujours la probabilité 1, que les issues soient finies, infinies, équiprobables ou non. Son complémentaire est l'ensemble vide, c'est-à-dire l'événement impossible.
La réciproque demande une précaution : un événement de probabilité 1 n'est pas nécessairement égal à l'univers. Dans certains modèles infinis, il peut exclure des issues de probabilité nulle. On dit alors qu'il se produit presque sûrement, tandis que l'événement certain contient réellement toutes les issues.
Un exemple, pas à pas
On lance un dé équilibré à six faces et l'on étudie l'événement A : « le résultat est compris entre 1 et 6 ».
Données : l'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; l'événement A contient les résultats 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ; chaque face a une probabilité de 1/6.
Données : l'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; l'événement A contient les résultats 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ; chaque face a une probabilité de 1/6.
1. Comparer A à l'univers : les six issues de Ω figurent dans A, et A n'en contient aucune autre. Donc A = Ω.
2. Additionner les probabilités des six issues : P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6.
3. Effectuer la somme : P(A) = 6/6 = 1.
4. Conclure : A est l'événement certain de cette expérience.
2. Additionner les probabilités des six issues : P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6.
3. Effectuer la somme : P(A) = 6/6 = 1.
4. Conclure : A est l'événement certain de cette expérience.
Le contrôle se refait sans calcul : toute face effectivement obtenue est l'un des six éléments de A. La figure matérialise cette couverture complète de l'univers par l'événement A.
En pratique
Lorsqu'on décrit une expérience aléatoire, l'événement certain sert à vérifier que l'univers n'oublie aucune issue possible. Si une issue réalisable manque, il faut compléter l'univers plutôt que déclarer l'événement certain.
Lorsqu'on attribue des probabilités aux issues d'un modèle fini, leur somme doit donner 1, car elles couvrent l'événement certain. Si le total diffère de 1, le modèle doit être corrigé ou les poids doivent être normalisés.
Dans un calcul sur les événements, l'univers simplifie les opérations : réunir un événement avec Ω donne Ω, tandis que l'intersecter avec Ω le laisse inchangé. Si l'on veut exclure certaines issues, il faut employer un événement plus petit que l'univers.
À ne pas confondre
Événement certain et événement de probabilité 1. Un événement certain contient toutes les issues. Un événement de probabilité 1 peut en exclure dans un modèle continu : pour un nombre choisi uniformément entre 0 et 1, « ne pas obtenir exactement 1/2 » a une probabilité égale à 1, mais n'est pas tout l'univers.
Événement certain et événement impossible. Le premier est l'univers Ω et se réalise pour chaque issue ; le second est l'ensemble vide et ne se réalise pour aucune. Au lancer du dé, « obtenir de 1 à 6 » est certain, tandis que « obtenir 7 » est impossible.
Limites et pièges
Une probabilité arrondie à 1 ne prouve pas la certitude. Un logiciel peut afficher 1,000 après arrondi alors que la valeur exacte est légèrement inférieure à 1. Il faut contrôler l'événement lui-même ou conserver une précision suffisante.
L'univers dépend de l'expérience décrite. Pour un dé classique, Ω contient les nombres de 1 à 6. Si l'expérience inclut la possibilité que le dé tombe hors de la table, cette liste ne couvre plus tous les résultats prévus par le modèle ; l'événement doit être reformulé.
Probabilité nulle ne signifie pas toujours impossibilité. Dans un modèle continu, une issue isolée peut avoir une probabilité nulle tout en appartenant à l'univers. Il faut donc distinguer l'ensemble vide d'un événement non vide de probabilité 0.
Pour aller plus loin
Événement. Cette notion montre comment tout sous-ensemble admissible de l'univers traduit une propriété des issues.
Expérience aléatoire. Cette fiche précise comment définir l'expérience et son univers avant d'attribuer des probabilités aux événements.
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