Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Atome
En théorie de la mesure et en logique, un atome d'une tribu (ou d'un treillis) est un élément minimal non nul : dans le cadre mesuré, c'est un ensemble mesurable de mesure strictement positive qu'aucune découpe mesurable ne partage en deux parties de mesure strictement positive. Dans un espace de probabilité atomique, tout événement de probabilité non nulle contient un atome. En algèbre de Boole, un atome est un élément minimal dans la partie non nulle de l'ordre partiel. Les espaces finis sont des exemples d'espaces atomiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un atome par l'impossibilité d'une découpe en deux parties mesurables positives.
- Vérifier le critère sur un espace fini à quatre résultats équiprobables.
- Distinguer un atome d'un singleton et d'un simple événement de probabilité positive.
- Relier la définition mesurée à l'élément minimal non nul d'une algèbre de Boole.
En clair
Une boîte contient quatre jetons marqués R, B, V et J. On tire un jeton au hasard et chaque résultat a une probabilité de 1/4. L'événement « tirer R » ne contient aucun événement plus petit ayant une probabilité positive : c'est un atome.
L'idée est celle d'un morceau mesurable que la mesure ne peut plus partager en deux morceaux de poids positif. Un événement réunissant R et B n'est pas un atome, car chacune de ses deux parties pèse encore 1/4.
Définition
Dans un espace muni d'une tribu et d'une mesure, un atome est un ensemble mesurable A de mesure strictement positive qui ne peut pas être décomposé en deux parties mesurables de mesure strictement positive. Autrement dit, pour tout ensemble mesurable B inclus dans A, l'une des deux parties B et A privée de B est négligeable. Si la mesure est notée μ, ce critère s'écrit .
Dans un espace de probabilité atomique, chaque événement de probabilité non nulle contient un atome. Les espaces finis fournissent le modèle de base : avec tous les sous-ensembles mesurables, les résultats élémentaires de probabilité positive sont des atomes. Une tribu plus grossière peut toutefois regrouper plusieurs résultats dans un même atome.
Dans une algèbre de Boole, la même idée s'exprime par l'ordre : un atome est un élément non nul minimal. Aucun élément non nul ne se place strictement entre zéro et lui. La formulation par la mesure et la formulation par l'ordre traduisent donc une indivisibilité, mais dans deux structures différentes.
Un exemple, pas à pas
On reprend la boîte de jetons. Données : l'univers Ω contient R, B, V et J ; chaque jeton a une probabilité de 1/4 ; tous les sous-ensembles sont mesurables ; l'événement E est « tirer R ou B ».
1. L'événement {R} a pour seuls sous-ensembles ∅ et {R}. Leurs probabilités sont respectivement 0 et 1/4. Il n'existe donc aucune découpe de {R} en deux parties de probabilité positive : {R} est un atome.
2. De même, {B}, {V} et {J} sont des atomes. La figure représente ces quatre événements minimaux et regroupe R et B dans E.
3. L'événement E se partage en {R} et {B}. Les deux parties sont mesurables et chacune a une probabilité de 1/4. Ainsi, E n'est pas un atome, même si sa probabilité vaut 1/2.
4. Contrôle : tout événement non vide contient au moins l'un des quatre singletons. Tout événement de probabilité positive contient donc un atome, ce qui confirme que cet espace fini est atomique.
En pratique
Dans un modèle probabiliste fini, on cherche les événements positifs qui ne contiennent aucun événement mesurable de probabilité intermédiaire. Pour la boîte à quatre jetons, ce test isole les quatre résultats élémentaires.
Pour décider si un espace est atomique, on prend un événement de probabilité positive et on cherche un atome à l'intérieur. Si cette recherche réussit pour chaque événement positif, le modèle est atomique ; sinon, il faut envisager une partie diffuse.
En logique, on remplace le calcul de mesure par la comparaison dans l'ordre d'une algèbre de Boole. On descend parmi les éléments non nuls : un élément est atomique lorsqu'aucun élément non nul plus petit ne subsiste.
À ne pas confondre
Atome mathématique et atome chimique. Le premier est un élément minimal relativement à une mesure ou à un ordre ; le second relève de la matière. Le test décisif consiste ici à chercher une partie mesurable de poids positif, non à étudier une composition physique.
Atome et singleton. Dans la boîte où tous les sous-ensembles sont mesurables, chaque atome est un singleton. Ce n'est pas une identité générale : si la tribu ne sépare pas R de B, le groupe {R, B} peut être un atome mesurable.
Atome et événement de probabilité positive. Tout atome a une probabilité positive, mais l'inverse est faux. L'événement {R, B}, de probabilité 1/2, contient deux parties mesurables de probabilité 1/4 : il n'est donc pas minimal.
Limites et pièges
Un ensemble négligeable n'est jamais un atome. Le symptôme est une mesure nulle dès le départ. Il faut vérifier la stricte positivité avant de tester la minimalité.
« Aucun sous-ensemble propre » se lit modulo les ensembles négligeables. Un sous-ensemble propre peut avoir la même mesure que l'atome si la partie retirée est nulle. Le bon critère exige que B ou son complément dans A ait une mesure nulle.
Fini ne signifie pas automatiquement « atomes égaux aux points ». Si la tribu ne rend pas chaque singleton mesurable, plusieurs points peuvent former un seul bloc minimal. Il faut examiner les ensembles effectivement mesurables, et non seulement compter les points.
Tout espace mesuré n'est pas atomique. Si un événement positif peut toujours être partagé en deux parties positives, aucun atome n'y apparaît. Il faut alors décrire cette composante comme diffuse plutôt que forcer une décomposition atomique.
Pour aller plus loin
La tribu précise quels sous-ensembles sont mesurables ; elle détermine donc les découpes autorisées lorsqu'on cherche un atome.
L'algèbre de Boole donne la version ordonnée de la notion et éclaire le sens d'« élément minimal non nul ».
L'ordre partiel fournit le langage précis pour comparer les éléments et reconnaître ceux qui n'admettent aucun non-zéro strictement inférieur.
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