Nelle scienze, il caso sarebbe un’ammissione di debolezza, un paradosso, un campo vergognoso! Un’ammissione di debolezza perché, dato che ogni effetto ha una causa, invocare il caso nel verificarsi di un effetto significa non aver individuato correttamente la sua causa. Un paradosso perché il caso ha le sue leggi, la più celebre delle quali è la legge normale. Infine, sarebbe un campo vergognoso perché disdegnato dai matematici puri di scuola bourbakista. Eppure il fisiologo britannico Francis Galton (1822–1911) scrisse della sua ammirazione per l’ordine che nasce dal caso: «Non conosco quasi nulla di altrettanto impressionante della meravigliosa forma dell’ordine cosmico espressa dalla Legge di frequenza degli errori… Essa regna serena e riservata in mezzo alla più folle confusione.»
Nella «Legge di frequenza degli errori» riconosciamo la legge normale. Da allora, la fisica quantistica ha introdotto un caso necessario… e fondamentale: Dio gioca a dadi. In Francia la legge normale fu a lungo chiamata legge di Laplace e nei paesi anglosassoni legge di Gauss. Cerchiamo un compromesso chiamandola legge di Laplace-Gauss, sebbene gli approcci dei due matematici siano diversi…
Gauss: la via astronomica ----------------------------
Gauss concepì la legge normale per migliorare le osservazioni astronomiche dell’amico e collega Heinrich Olbers. Il matematico tedesco osservava personalmente gli oggetti celesti solo di rado, ma si interessava alla posizione degli oggetti luminosi per distinguere i pianeti o gli asteroidi mobili dalle stelle fisse (tenendo conto della rotazione della Terra) e per calcolarne le traiettorie. Gauss aveva dunque calcolato la traiettoria di Cerere, il primo asteroide scoperto (fra Marte e Giove), sulla base delle osservazioni di Olbers, il quale rilevò poi la presenza di un oggetto mobile nella regione in cui Cerere avrebbe dovuto trovarsi secondo i calcoli di Gauss. Era l’asteroide Pallade, che passava fortuitamente vicino a Cerere. Come determinare al meglio la posizione A di un corpo celeste in seguito a diverse misure *A1, A2… An? La differenza Ai – A tra la misura numero i e la posizione reale corrisponde al valore dell’errore commesso nella determinazione della posizione del corpo celeste. Per calcolare A, Gauss inventò il celebre metodo dei minimi quadrati, che consiste nel calcolare il valore di A che minimizza la somma dei quadrati dei diversi valori Ai – A. Dimostrò che tale valore corrispondeva alla media Amoy delle n osservazioni A1, A2… An. Gauss si interessò anche alla distribuzione degli errori attorno alla media e, a questo scopo, propose un altro metodo di calcolo. Suppose che gli errori fossero indipendenti e chiamò P(xi) la probabilità di commettere l’errore xi = Ai – A nell’osservazione Ai. A questo scopo introdusse la funzione di verosimiglianza V(A), uguale al prodotto delle probabilità P(xi), ossia la probabilità che questa serie di errori sia stata commessa durante le misure. Formulò due ipotesi: la funzione P è simmetrica rispetto al valore Amo*y (la probabilità di misurare un dato valore inferiore ad Amoy è uguale alla probabilità di misurare lo stesso valore superiore) e diminuisce quando aumenta il valore assoluto dell’errore *Ai – Amoy*. Gauss dimostrò che le funzioni che soddisfano queste due condizioni sono funzioni del tipo