formule de Dobinski

Prenons quatre objets distincts et regroupons-les sans laisser d’objet de côté. Il existe 15 façons de former des groupes, depuis le paquet unique jusqu’aux quatre objets séparés. Ce total est le quatrième nombre de Bell.

La formule de Dobiński retrouve ce nombre entier par un détour surprenant : elle additionne une infinité de fractions, puis divise la somme par e. La même somme se lit aussi comme une moyenne probabiliste associée à une loi de Poisson de paramètre 1.

Pour tout entier naturel n, le nombre de Bell B_n compte les partitions d’un ensemble de n éléments distincts. Une partition est un découpage en groupes non vides, disjoints, dont la réunion redonne tout l’ensemble. La valeur initiale B₀ = 1 correspond à l’unique partition de l’ensemble vide.

La formule de Dobiński exprime ce nombre par une série convergente :

Dans cette écriture, k parcourt les entiers naturels, k! est la factorielle de k et e est la base des logarithmes naturels. Si X désigne une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre 1, la probabilité d’obtenir k vaut e⁻¹/k!. La série est donc exactement l’espérance de Xⁿ : le nombre de Bell B_n est le moment d’ordre n de X.

Soit n un entier naturel. Le nombre B_n de partitions d’un ensemble à n éléments est donné par :

Chaque terme utilise l’entier k élevé à la puissance n et divisé par sa factorielle. La somme infinie converge, et le facteur 1/e transforme son résultat en l’entier B_n.

La formule compte des partitions lorsque n est un entier naturel et que les n éléments sont distincts. La somme porte sur tous les entiers k ≥ 0 et ne doit pas être arrêtée si l’on revendique une égalité exacte. Elle converge pour chaque valeur admissible de n.

Pour une valeur de n non entière ou négative, l’expression ne représente pas un nombre de partitions d’un ensemble fini. Pour un calcul exact, on emploie alors seulement le domaine entier naturel ; pour une approximation numérique, on peut tronquer la série en signalant l’erreur. Si la loi de Poisson a un paramètre différent de 1, son moment d’ordre n n’est généralement plus B_n.

On cherche B₄, le nombre de partitions de quatre éléments distincts. Les données sont n = 4, e ≈ 2,71828 et la somme de Dobiński prise ici de k = 0 à k = 10 pour obtenir une approximation.

1. On remplace n par 4 dans la série.
2. On calcule chaque terme k⁴/k! de k = 0 à 10.
3. La somme partielle divisée par e vaut environ 14,99985.
4. Les termes restants, tous positifs, portent la limite jusqu’à la valeur exacte 15.

Un contrôle combinatoire classe les partitions selon leur nombre de groupes : il y en a respectivement 1, 7, 6 et 1 avec un, deux, trois et quatre groupes. Ainsi, 1 + 7 + 6 + 1 = 15. La figure synthétise cette vérification indépendante de l’approximation numérique.

Pour obtenir exactement un nombre de Bell, la récurrence est souvent le calcul le plus direct : chaque nouvelle valeur se déduit des précédentes. On préfère cette voie à une somme infinie lorsque le résultat entier doit être certifié.

La formule de Dobiński est particulièrement utile pour relier le comptage des partitions à une espérance. On la choisit lorsque l’interprétation probabiliste ou l’étude de la série importe davantage qu’une simple énumération.

Pour une valeur numérique approchée, on additionne les termes jusqu’à ce que la contribution de la queue soit compatible avec la précision voulue. Une troncature ne remplace toutefois pas l’égalité exacte.

Le nombre de Bell est le résultat entier B_n qui compte toutes les partitions d’un ensemble à n éléments ; la formule de Dobiński est une manière particulière de l’exprimer. Pour n = 4, le nombre est 15, tandis que la formule est la série qui conduit à 15.

Le moment d’ordre n d’une loi de Poisson n’est pas sa probabilité de prendre la valeur n. Le moment est l’espérance de Xⁿ, donc une somme pondérée sur toutes les valeurs k ; la probabilité d’un seul événement ne contient qu’un terme.

Au cas charnière n = 0, on doit conserver B₀ = 1. Dans la série, cela revient à prendre k⁰ = 1, y compris pour k = 0 ; oublier cette convention supprime à tort le premier terme.

Une somme arrêtée à une valeur finie de k ne donne en général qu’une approximation. Le symptôme est un résultat proche d’un entier, comme 14,99985 pour n = 4 et k ≤ 10. Il faut écrire ≈, augmenter le seuil ou utiliser la récurrence pour une valeur exacte.

L’identité probabiliste exige une loi de Poisson de paramètre 1. Avec un paramètre λ différent de 1, les poids deviennent e^−λλ^k/k! ; le moment obtenu dépend alors de λ et ne doit pas être annoncé comme B_n.

Le nombre de Bell replace B_n dans la suite des dénombrements de partitions.

La partition d’un ensemble précise l’objet combinatoire que chaque nombre de Bell compte.

La loi de Poisson donne le cadre probabiliste dans lequel B_n devient un moment d’ordre n.