série asymptotique
L'expression « série asymptotique » constitue un abus de langage renvoyant à la notion de développement asymptotique. Un développement asymptotique d'une fonction f en un point (souvent l'infini) est une expression de la forme f(x) ~ Σ aₙ φₙ(x), où la suite de fonctions (φₙ) forme une échelle de comparaison. Contrairement à une série convergente, un développement asymptotique peut diverger tout en fournissant une approximation de plus en plus précise de f lorsqu'on tronque la série à un ordre fixé.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une échelle asymptotique et la condition exacte sur le reste.
- Calculer six troncatures cohérentes d'un même exemple factoriel.
- Distinguer développement asymptotique, série convergente, développement limité et équivalent.
- Repérer pourquoi ajouter trop de termes peut dégrader une approximation.
En clair
Prenons une fonction difficile à calculer lorsque le nombre x devient très grand. On la remplace par quelques termes simples : d'abord 1, puis une correction en 1/x, puis une correction plus petite en 1/x², et ainsi de suite. Chaque terme affine alors l'approximation à un ordre donné.
La liste complète des termes n'a pourtant pas besoin de converger. Ce qui compte est le reste laissé après une troncature fixée, quand x tend vers le point étudié. L'expression « série asymptotique » désigne couramment ce développement.
Définition
Soit f une fonction étudiée lorsque x tend vers un point, par exemple +∞. Une suite de fonctions φ0, φ1, … est une échelle asymptotique si chaque fonction est négligeable devant la précédente : pour tout entier n, au point considéré.
Les nombres a0, a1, … forment un développement asymptotique de f sur cette échelle si, pour tout entier N fixé, le reste après le terme d'indice N est négligeable devant ce dernier terme d'échelle :
Cette condition porte sur chaque troncature finie, puis sur la limite de x ; elle ne demande pas que la somme infinie converge pour une valeur fixée de x.
La notation informelle f(x) ~ Σ aₙφₙ(x) résume toutes ces relations de reste. Le signe ~ ne doit donc pas être lu ici comme une unique équivalence entre f et une somme infinie. « Série asymptotique » est un abus de langage courant pour ce développement, qui peut être divergent ou convergent.
De quoi c'est fait
Un développement asymptotique réunit cinq éléments. Le point limite indique le régime étudié. La fonction f est l'objet à approcher. L'échelle (φₙ) classe des fonctions de plus en plus petites. Les coefficients aₙ pondèrent ces fonctions. Enfin, la troncature conserve un nombre fini de termes et laisse un reste.
L'ordre de l'échelle commande le sens des coefficients : φn+1 doit être négligeable devant φn. Le choix d'un indice N commande ensuite la précision exigée du reste. Les coefficients et l'échelle suffisent ainsi à construire chaque approximation tronquée, tandis que la relation de reste certifie son ordre de validité. Le tracé d'une courbe ou la convergence de la somme infinie ne font pas partie de la définition.
Un exemple, pas à pas
Pour x positif, considérons la fonction f définie par . Prenons x = 10, l'échelle 1, 1/x, 1/x², … et une troncature à l'indice N.
1. Pour le nombre u = t/x, l'identité géométrique finie donne . Elle est exacte pour u ≥ 0.
2. En intégrant et en utilisant , on obtient
Le reste a le signe de (−1)N+1 et sa valeur absolue ne dépasse pas (N + 1)!/xN+1.
3. Pour x = 10 : S1 = 0,9 ; S2 = 0,92 ; S3 = 0,914 ; S4 = 0,9164 ; S5 = 0,9152 ; S6 = 0,91592. Les signes du reste encadrent f(10) entre deux troncatures consécutives.
4. Les encadrements [0,9 ; 0,92], [0,914 ; 0,9164] puis [0,9152 ; 0,91592] se resserrent. Numériquement, f(10) ≈ 0,9156333 appartient à chacun. La figure montre ce resserrement sans supposer la convergence de la série.
Le contrôle est refaisable : chaque nouveau terme vaut (−1)NN!/10N, et la borne du reste se calcule avec le terme suivant. Pour x fixé, N!/xN finit par croître ; la série diverge donc, bien que ses premières troncatures approchent utilement f lorsque x est grand.
En pratique
Pour estimer une fonction dans un régime où x est grand, on fixe d'abord la précision recherchée, puis on garde les termes jusqu'à l'ordre correspondant. Si x n'est pas assez grand pour que les corrections diminuent, une évaluation numérique directe est préférable.
Pour comparer deux contributions, on les replace dans la même échelle. Le premier terme non nul indique alors la taille dominante. Si deux termes appartiennent au même ordre, il faut conserver leurs coefficients plutôt que les classer artificiellement.
Pour choisir une troncature dans une série divergente, on surveille la taille des termes successifs. Tant qu'elle diminue, ajouter un terme peut améliorer l'approximation ; lorsqu'elle recommence à croître, continuer n'est plus justifié par ce seul développement. Une borne du reste, lorsqu'elle est disponible, reste le meilleur contrôle.
À ne pas confondre
Une série convergente fournit, pour une valeur fixée de x, une suite de sommes partielles qui tend vers une limite. Un développement asymptotique exige plutôt une propriété du reste quand x tend vers le point étudié. La série factorielle de l'exemple tranche : elle diverge pour x fixé, mais reste asymptotique.
Un développement limité est une approximation locale, souvent exprimée en puissances de l'écart à un point fini, avec un reste précisé. Il constitue un cas de description asymptotique, mais une échelle asymptotique peut employer d'autres fonctions que des puissances.
Un équivalent compare deux fonctions par un quotient qui tend vers 1. Il ne donne que le terme dominant. Un développement asymptotique ajoute des corrections successives : si l'on a besoin du terme en 1/x² dans l'exemple, l'équivalent f(x) ~ 1 ne suffit pas.
Limites et pièges
L'expression « série asymptotique » est un abus de langage. Elle peut faire croire qu'une somme infinie est l'objet principal ; il faut revenir aux troncatures finies et à leur reste.
L'ordre N doit rester fixé pendant que x tend vers le point limite. Faire varier N avec x demande une estimation uniforme supplémentaire ; la seule définition asymptotique ne la fournit pas.
Ajouter des termes n'améliore pas indéfiniment une série divergente. Dans l'exemple avec x = 10, la taille N!/10N diminue jusqu'à l'indice 9, reste identique à l'indice 10, puis augmente. Il faut tronquer près des plus petits termes et contrôler le reste.
Une liste de fonctions n'est pas une échelle si le rapport d'un terme au précédent ne tend pas vers 0. Dans ce cas, l'ordre des corrections n'est pas garanti ; il faut choisir une échelle adaptée ou formuler une autre estimation.
Pour aller plus loin
Le glossaire développement asymptotique approfondit la formulation rigoureuse dont « série asymptotique » est le nom courant.
La fiche Développements limités replace les approximations polynomiales locales dans cette famille d'outils.
L'article Attribuer une valeur… à une série divergente ! ouvre sur d'autres manières d'exploiter une divergence sans la confondre avec la convergence ordinaire.
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