Stirling James

En 1730, à Londres, James Stirling publie Methodus Differentialis. Cet ouvrage rassemble ses travaux sur les séries infinies, les sommations et l'interpolation. Il contient surtout deux traces encore attachées à son nom : une formule qui approche la factorielle des grands nombres et les nombres de Stirling.

Son parcours relie plusieurs foyers scientifiques européens. Parti d'Oxford sans diplôme après un refus politique, il passe par Venise et Padoue, correspond avec Newton, puis enseigne à Londres avant d'être élu à la Royal Society.

James Stirling est un mathématicien écossais né en 1692 et mort en 1770. Après ses études au Balliol College d'Oxford, son refus de prêter allégeance au roi d'Angleterre l'empêche d'obtenir son diplôme. Il gagne Venise en 1715, puis Padoue, où il se lie avec Nicolas I Bernoulli et correspond avec Newton. Revenu en Écosse en 1722, il s'établit à Londres en 1724 et entre à la Royal Society en 1726.

Son premier livre, Lineae Tertii Ordinis Neutonianae, publié en 1717, prolonge les travaux de Newton sur les courbes planes de degré 3. À Londres, Stirling enseigne la mécanique, l'hydrostatique, l'optique et l'astronomie, tout en travaillant sur les suites et le calcul différentiel.

Son ouvrage majeur, Methodus Differentialis, paraît en 1730. Il aborde les séries infinies, les sommations et l'interpolation. Pour un entier positif noté n, la formule aujourd'hui associée à Stirling donne l'équivalent asymptotique de la factorielle n!, c'est-à-dire une approximation dont le rapport à n! tend vers 1 lorsque n grandit : $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^{n}n!\; \backslash sim\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^n$. Le livre contient aussi les nombres de Stirling. En 1735, Stirling publie un traité sur la forme de la Terre et la variation de la gravité à sa surface, puis prend la direction d'une compagnie minière, ce qui ralentit ses recherches.

Prenons n = 10 pour appliquer la formule de Stirling à un cas que l'on peut contrôler. On va comparer 10! avec son estimation $\sqrt{2\pi \times 10}{\left(\frac{10}{e}\right)}^{10}\backslash sqrt\{2\backslash pi\; \backslash times\; 10\}\backslash left(\backslash frac\{10\}\{e\}\backslash right)^\{10\}$.

1. Calculez d'abord la valeur exacte : 10! = 1 × 2 × … × 10 = 3 628 800. Cette valeur servira de point de comparaison.

2. Évaluez ensuite les deux facteurs de l'approximation : $\sqrt{20\pi }\approx \mathrm{7,927}\backslash sqrt\{20\backslash pi\}\backslash approx\; 7\{,\}927$ et ${\left(\frac{10}{e}\right)}^{10}\approx 453\mathrm{999,298}\backslash left(\backslash frac\{10\}\{e\}\backslash right)^\{10\}\backslash approx\; 453\backslash ,999\{,\}298$. Leur produit vaut environ 3 598 696.

3. Comparez les deux résultats : l'estimation est inférieure à 10! d'environ 30 104, soit un écart relatif d'environ 0,83 %. Ce contrôle porte uniquement sur n = 10 : il montre comment utiliser l'approximation pour une valeur finie, sans la confondre avec une égalité exacte.

Quand une formule de calcul asymptotique porte le nom de Stirling, le bon geste est d'identifier d'abord James Stirling, puis de revenir à Methodus Differentialis en 1730. Une recherche sur les seuls nombres de Stirling vise une autre contribution du même ouvrage.

Pour situer son travail, observez le sujet plutôt que le seul nom. Les courbes planes de degré 3 renvoient au livre de 1717 et au prolongement de Newton ; les séries, les sommations et l'interpolation renvoient au livre de 1730.

Pour lire sa biographie, gardez aussi distinctes la carrière scientifique et la carrière industrielle. L'année 1735 marque à la fois la publication du traité sur la Terre et la prise de direction d'une compagnie minière ; la seconde activité ralentit ensuite la première.

James Stirling et la formule de Stirling. James Stirling est la personne, née en 1692 ; la formule est un résultat mathématique associé à son nom. Une date, un lieu ou un ouvrage signale la biographie ; une approximation de n! signale la formule.

Formule de Stirling et nombres de Stirling. La première fournit un équivalent asymptotique de la factorielle. Les seconds forment des familles de nombres. La présence de n! et d'une approximation tranche en faveur de la formule ; un problème de dénombrement indexé renvoie aux nombres.

James Stirling et Isaac Newton. Stirling correspond avec Newton et prolonge ses travaux sur les courbes de degré 3, mais leurs œuvres restent distinctes. Lineae Tertii Ordinis Neutonianae est un ouvrage de Stirling publié en 1717.

Un équivalent n'est pas une égalité. La formule de Stirling décrit le comportement de n! quand l'entier positif n devient grand. Le signe $\sim \backslash sim$ indique que le rapport des deux expressions tend vers 1 ; pour une valeur finie de n, il faut parler d'approximation.

Le nom de Stirling ne suffit pas à identifier un objet. La formule asymptotique et les nombres de Stirling figurent dans le même ouvrage de 1730, mais ne jouent pas le même rôle. Il faut regarder si le contexte porte sur la croissance de n! ou sur une famille de nombres indexés.

Une même année peut porter deux faits distincts. En 1735, Stirling publie son traité sur la forme de la Terre et accepte la direction d'une compagnie minière. Il ne faut ni fusionner les deux événements ni attribuer au poste industriel le contenu du traité.

Les équivalents, un outil pour le calcul des limites précise le langage asymptotique indispensable pour interpréter correctement la formule associée à Stirling.

Newton Isaac situe le mathématicien avec lequel Stirling correspond et dont il prolonge les recherches sur les courbes planes de degré 3.