Approximation de courbes et fonctions
L’importance et l’omniprésence du numérique ont conduit à redéfinir des champs entiers des mathématiques. Alors que l’approximation traduisait jadis des limitations dans les savoirs mathématiques ou les capacités des calculateurs humains, dans l’ordinateur tout est, de fait, approché : les nombres, les images, les sons et même les fonctions, traitées comme des suites d’opérations élémentaires. Du recueil des données à leurs traitements et leurs représentations, de nombreuses techniques sont mises au point régulièrement. Certains problèmes deviennent alors cruciaux : l’encadrement de l’erreur que l’on propage d’une étape à l’autre d’un calcul, la stabilité des modèles utilisés qui doivent éviter les brusques « sauts » qualitatifs, la simplicité de mise en œuvre des algorithmes… Derrière toutes ces questions se cachent des théorèmes étudiés il y a près de deux siècles, et des méthodes prolongées et amplifiées avec le développement des technologies numériques.
Tous les articles de ce dossier
PodcastLa théorie de l’approximation
Lorsqu’on ne sait pas déterminer directement des modèles ou des formes, on les approche par des fonctions ou des courbes plus simples à manipuler et qui en conservent les principales propriétés. C’est l’objet de la théorie de l’approximation.
Approximer la trajectoire des astres | Tangente
Le mot planète vient d’un mot grec signifiant « astre errant ». On comprend, à travers cette étymologie, que le mouvement des planètes, parmi lesquelles les Grecs rangeaient la Lune et le Soleil, n’est pas facile à définir et semble échapper à toute logique.
PodcastApprocher des fonctions : pas si simple...
Quand on veut approcher un objet, on cherche à diminuer la distance qui nous sépare de lui. Il en est de même pour « approcher » une fonction. Mais cela se complique car il y a plusieurs notions de distance.
PodcastLes courbes de Bézier en modélisation | Tangente
Particulièrement utilisées dans le domaine de la conception assistée par ordinateur, les courbes de Bézier ont la particularité de pouvoir être générées facilement à partir d’un petit nombre de points qui les définissent entièrement.
PodcastUn bouchon sur la rivière | Tangente
Laissez dériver un bouchon à la surface d’un cours d’eau. Lorsque la trajectoire qu’il suit est trop difficile à calculer, on doit se contenter de méthodes d’approximation. Parfois cependant, la façon dont l’eau s’écoule rend problématique la fiabilité de telles méthodes.
PodcastAux origines de la pifométrie | Tangente
Les Anciens utilisaient des unités basées sur les performances ou caractéristiques humaines : la longueur du pouce, du pied, de l’empan, la coudée, la brasse...
Une (bonne) approximation babylonienne
Les Babyloniens ont toujours été reconnus comme de brillants mathématiciens et les tablettes d’argile que nous avons conservées en sont un témoignage parfois éclatant.