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Apparue avec les Babyloniens, très développée dans l'Antiquité mais aussi à la Renaissance, l'astrologie a longtemps tenté les astronomes et les mathématiciens lorsque l'origine des forces gravitationnelles était inconnue. Bien que reposant parfois sur de savants calculs, on sait aujourd'hui qu'elle ne possède aucune base théorique et se fonde sur des considérations astronomiques le plus souvent erronées… Classée de nos jours par les scientifiques comme une discipline obscurantiste, elle attire encore de nombreux adeptes. Pourquoi ? C'est sans doute du ressort de la psychologie et… des probabilités. Car son seul art est de faire croire à la réalité de ses affirmations.

Avec la parabole et l’hyperbole, l’ellipse est l’une des trois coniques. D’abord examinées dans le cadre de la résolution de problèmes nécessitant des outils supplémentaires à la règle et au compas, comme la duplication du cube, elles sont ensuite unifiées par leur définition géométrique comme intersection d’un plan et d’un cône. L’ellipse, qui semble n’être qu’un simple cercle aplati, présente des propriétés surprenantes, qu’il s’agisse du calcul de son périmètre, de différentes méthodes de construction qu’on peut lui imaginer ou des propriétés pratiques que sa définition bifocale permet, l’une d’elles étant la démonstration de l’héliocentrisme.

Dans cette ville de Paris qui pouvait alors revendiquer le statut de capitale intellectuelle de l’Europe, Cauchy a été le pivot scientifique de toute sa génération. La gloire de Cauchy n’eut toutefois rien d’un long fleuve tranquille. Né en 1789, il fut confronté aux grands bouleversements qui traversèrent la France pendant des décennies et virent s’enchaîner les changements de régimes et les révolutions. Si nul en son temps ne contesta vraiment la domination scientifique de Cauchy, son génie ne le protégea pas toujours des aléas de l’époque. Sa fermeté parfois intransigeante sur les plans politique et religieux le desservit, donnant de lui l’image d’un homme rigide alors même que ses bonnes œuvres lui valurent aussi une grande considération.

Un problème à un million de dollars : trouver une solution est-il aussi facile que la vérifier ? Écrit sous la forme  « P = NP ? », ce problème est pour l'instant toujours ouvert. Ainsi, montrer qu'un emploi du temps vérifie les contraintes imposées est facile, mais en trouver un qui convienne ? S'il faut les énumérer un par un pour les tester, on risque d'y passer un temps plus long que l'âge du soleil, alors qu'on aimerait avoir la solution dans les cinq minutes ou les vingt-quatre heures. On cherche d'abord à identifier les problèmes que l'on sait résoudre rapidement. Pour les autres, on utilisera si possible des recherches arborescentes intelligentes, des algorithmes exacts efficaces de type cheminement combinatoire, ou des méthodes approchées (métaheuristiques).

Au-delà de la simple description du réel, la statistique peut aussi aider, en modélisant une situation à l’aide de formules probabilistes adaptées, à prévoir ses évolutions plausibles dans le futur. Les « modèles de mélange » en sont un exemple complexe permettant de retrouver différentes classes dans une population et… de prédire celle d’un nouvel individu pour, par exemple, lui proposer des contenus ou des produits qui pourraient l’intéresser sur des plateformes de fournisseurs. Dans le domaine de la santé, les modèles prévisionnels permettent d’améliorer la prise en charge des patients jusqu’à imaginer une médecine personnalisée. En sport, les analyses conduisent à doser du mieux possible la quantité d’entraînement qui optimise les performances individuelles, et, dans le cadre collectif, les progrès vont jusqu’à prédire le vainqueur de la prochaine coupe du monde de football à partir des performances passées !

La notion de groupe, de par sa nature structurante, est centrale en algèbre. Mais elle est aussi indispensable en géométrie, où elle permet de comprendre, de classer, de relier, d’étudier les transformations, voire de caractériser différentes géométries. Ainsi, si les symétries n’expliquent pas tout, elles sont souvent présentes, quelquefois de manière invisible. Mais le concept de groupe ne s’arrête pas là : il a investi d’autres domaines comme l’analyse infinitésimale et la physique mathématique, où les groupes de Lie ont une importance cruciale.

En géométrie plane, la tangente, on connaît tous… dès lors que la construction met en scène un cercle (C), une droite (D) et un point P. Pour autant, il est des situations autrement plus riches ! Avec uniquement des cercles tangents, une diversité extraordinaire émerge. Ainsi l’arbelos, dont la vertigineuse construction itérative donne naissance à des propriétés foisonnantes, toutes plus étonnantes les unes que les autres, a-t-elle fasciné les Anciens. Les cercles jumeaux d’Archimède et les chaînes de Pappus nous plongent au cœur d’une transformation géométrique des plus élégantes, l’inversion. Plus près de nous, les cercles de Malfatti permettent de revisiter sous un autre angle la notion de cercle inscrit. La tangence n’a pas fini de nous émerveiller !

Il y a cent cinquante ans naissait l’un des esprits les plus originaux qui soient : Bertrand Arthur William Russell était mathématicien, logicien, philosophe, libre penseur… Ses écrits lui valurent de recevoir le prix Nobel de littérature en 1950 ! Son œuvre scientifique est colossale. Avec son complice Alfred Whitehead, il a donné corps au logicisme, ce courant de pensée visant à faire reposer les fondements des mathématiques sur la logique. Son œuvre philosophique est plus considérable encore. Russell n’a jamais hésité à s’élever contre les dogmes, religieux, moraux ou économiques, qu’il voyait comme autant de carcans dont les sociétés et les individus sont prisonniers.

Symboles de la transformation à attendre de notre vie courante, incarnation des rêves de la science-fiction, les machines parlantes ne sont qu'une des faces de la pénétration de l'IA dans des domaines de plus en plus variés. Nouvelles méthodes d'apprentissage, conseils pour jouer (y compris en bourse), traductions, aide à la décision, diagnostics, prévisions... De nouvelles possibilités s'offrent à l'humain d'accroître sans cesse ses compétences. Quel avenir pour cette relation incontournable entre humains et machines interconnectés ?

Tout au long de l'histoire, calculer mieux et plus vite a constitué un impératif, à la base d'importants enjeux. Les méthodes se sont multipliées, parfois de manière étonnante. Ainsi, Descartes utilisait la géométrie pour effectuer des opérations arithmétiques ! Le calcul mental, avec ses astuces, a pris une place importante dans l'enseignement des mathématiques, même si son approche a été bouleversée par l'arrivée de l'informatique et des calculatrices. Ces dernières continuent à s'adapter pour intégrer les apports technologiques et demeurer d'incontournables outils pédagogiques. Savoir bien calculer reste en effet un impératif pour bien s'intégrer dans la société.