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On l'appelait à l'origine « surface », du même nom que ce qu'elle mesurait… L'aire des figures planes se devait d'être calculée depuis longtemps pour des raisons ancrées dans le réel ! Partager un champ de manière équitable, soumettre un domaine à l'impôt le plus juste possible nécessitent un calcul précis et incontestable. Durant l'Antiquité, les Égyptiens et les Grecs procédaient par approximations successives, une méthode longue et fastidieuse, surtout quand intervient ce nombre insaisissable que nous appelons aujourd'hui π. Il faudra plusieurs siècles pour que les scientifiques fondent le calcul intégral, qui résout en pratique tous les cas que l'on peut rencontrer, de l'aire du champ de maïs à celle balayée par une planètes durant sa révolution autour du soleil.

La Terre se réchauffe, c'est un fait statistique. La responsabilité de l'homme étant pointée du doigt, de plus en plus de pays encouragent des initiatives plus « vertes », comme le remplacement du charbon par l'énergie électrique. Cette dernière est-elle aussi vertueuse qu'on le prétend ? L'interprétation des données disponibles et quelques calculs élémentaires permettent de garder la tête froide.

Depuis des siècles, les amateurs de belle arithmétique rivalisent d'ingéniosité pour proposer des carrés magiques toujours plus étonnants, aux propriétés chaque fois plus nombreuses. L'un des experts en la matière, René Descombes, nous livre certaines de ses méthodes de construction. Alors que les moyens informatiques permettent d'étoffer le tableau de chasse des passionnés, les variantes ne cessent d'augmenter. Redécouvrons les carrés multiplicatifs, carrés à trous et autres constructions « magiques ». Les trésors arithmétiques qui y figurent semblent sans limite et se retrouvent jusque dans l'art figuratif.

Dans l'histoire du développement de la pensée scientifique, il est souvent difficile de distinguer ce qui revient aux mathématiques de ce qui est initié par la physique. Les savants se cantonnaient alors rarement à un unique domaine. Le rôle des mathématiques évolue ensuite, au fur et à mesure que le physicien change de paradigme : outil de calcul, réservoir de modèles, instrument prédictif… De la méthode d'exhaustion déjà utilisée par Archimède aux équations de Fourier et Maxwell, les exemples à explorer sont nombreux.

Comparer des quantités est une activité des plus naturelles : qui possède le moins d’objets, ou le plus grand champ ? Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques qui permettent d’augmenter la superficie de son terrain ou un préceux capital, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu. L’inégalité du triangle et l’astuce de Didon nous étonnent encore aujourd’hui par leur fécondité.

Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans ℂ, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore dont personne n'aurait pu imaginer la richesse. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie, dont les formules deviennent accessibles à tous ! À telle enseigne que des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent plus s'en passer. La fonction zêta nous fait maintenant miroiter mille merveilles mathématiques, notamment au sujet des nombres premiers, briques élémentaires de l'arithmétique. Mais gare au téméraire qui abordera l'hypothèse de Riemann : le million de dollars promis pour sa démonstration témoigne à lui seul de l'ampleur et de la difficulté de la tâche…

La récompense stimule, c'est aussi vrai pour les maths, et ce, depuis des siècles. Encore faut il que les tutelles soutiennent plus ces initiatives, qu'elles méconnaissent et jugent parfois élitistes… Dans les années 1900, fut créé en France le Concours général. Des enseignants visionnaires et motivés ont ensuite développé d'autres types d'expériences : compétitions moins scolaires, épreuves réservées aux filles, tournois en plusieurs manches, rallyes en groupes… dont le succès semble ne pas se démentir auprès des jeunes. D'autres, plus âgés, pourront se voir décerner d'autres récompenses : pour des actions de popularisation, pour des créations pluridisciplinaires, voire même, si leurs travaux de recherche sont universellement reconnus, la célèbre médaille Fields !

Si l’on connaît Condorcet comme le grand défenseur de l’instruction publique, on oublie souvent qu’il fut d’abord un mathématicien. Ses travaux en analyse furent salués par l’Académie des Sciences, même s’il faut reconnaître que les jugements sur son œuvre mathématique furent parfois plutôt négatifs. C’est sans doute en grande partie dû à sa tentative de fonder une mathématique sociale, c’est-à-dire d’appliquer les probabilités à des questions humaines, en particulier électorales. Cela procède d’une volonté d’utiliser les mathématiques pour éliminer les erreurs de raisonnement et les préjugés de nos actions. C’est également dans cette perspective qu’il a défendu un enseignement populaire des mathématiques tout comme il a pu s’opposer à la pensée magique entourant les expériences de Mesmer. De la même manière, il s’est engagé politiquement pour le droit de vote des femmes et pour l’abolition de l’esclavage. Condorcet est l’auteur d’une pensée riche où les mathématiques servent toujours de substrat.

Après les formes géométriques de base, des objets plus élaborés ont été soumis à l'action de la règle et du compas. Peut-on obtenir des ellipses ou des paraboles point par point et reconstituer tous leurs points remarquables ? On entre dans l'univers des nombres constructibles...ou pas. Trouver lesquels le sont est tout un art. La puissance des techniques développées a envahi la théorie des nombres et permis de résoudre - par la négative - un problème vieux de plus de deux mille ans : la quadrature du cercle !

Implicitement présente dans la géométrie de la Grèce antique, la convexité trouve sa formulation rigoureuse au XIXe siècle en analyse, dans le cadre de la résolution d’inégalités. Dans tous les domaines qui l’utilisent, dès lors que l’objet manipulé est convexe, on constate que tout devient facile ! De subtiles propriétés géométriques « sautent aux yeux » ou s’établissent aisément. Le concept investit de nombreux domaines mathématiques (topologie, recherche opérationnelle…) avant d’être utilisé bien au-delà, comme en intelligence artificielle, en finance ou en économie.