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Depuis l’Antiquité, on s’est intéressé, pour des problèmes de remembrement, à calculer l’aire d’un quadrilatère. Le mathématicien indien Brahmagupta en a établi une formule à partir de la mesure de ses côtés, formule semblable à celle de Héron d’Alexandrie pour les triangles. Une généralisation de ces expressions a récemment permis de déterminer l’aire d’un pentagone quelconque à partir de ses côtés. Autre problème antique, la construction de polygones réguliers à la règle et au compas. Il faudra attendre le XIXe siècle, les travaux de Gauss et le développement de la théorie de Galois, pour déterminer lesquels sont effectivement constructibles selon les règles d’Euclide.

L’infinie variété des trajectoires du plan semblait échapper à toute classification. Pourtant, les courbes lisses partagent une propriété commune : quand on « zoome » sur un point générique, on « voit » une droite ! Les notions de tangente et de dérivée ont permis, bien tardivement, de formaliser cette observation. La tangente reste aujourd’hui un outil universel puissant pour étudier les courbes et essayer de mettre à jour leurs propriétés. Attention cependant à ne pas confondre la tangente à une courbe avec son asymptote à l’infini. A priori, aucune confusion n’est possible. Mais gare aux conclusions hâtives : la géométrie projective vous réserve des surprises !

Un petit dessin vaut mieux qu’un long discours ! La force des images tient aussi dans ce qu’elles permettent de véhiculer des informations. Le schéma devient ainsi outil pour la réflexion et la résolution de problèmes. Les matheux ont rivalisé d’imagination pour visualiser les données, faire « sauter aux yeux » leurs résultats, voire les justifier. Preuves sans mots, schémas, diagrammes de Venn, arbres, tableaux de Karnaugh, nomogrammes et autres modes de représentation sont autant de supports visuels qui ont permis d’apporter un regard simplifié sur tous les domaines des mathématiques.

Après le temps de la conceptualisation est venu celui des applications dans des domaines très variés, très souvent hors du champ des mathématiques, comme la linguistique, la physique ou la médecine. De nombreux problèmes s’y résolvent en construisant une distance adaptée, dont l’interprétation ouvre un champ extraordinaire à des problématiques de notre vie quotidienne. Il devient possible de mesurer une distance entre des mots, entre des courbes, entre des images. Qui pourrait croire que les coordonnées bancaires, le correcteur orthographique de votre traitement de textes ou l’interprétation de vos résultats sanguins font appel à cette notion ? Partez à la découverte de quelques-unes de ces applications…

Les mathématiques sont la discipline où l’on craint et stigmatise le plus les erreurs. Et pourtant, Fermat a pu se tromper dans une division et en déduire un faux théorème ! Euler, avec un raisonnement un peu bancal, a ouvert la voie à une révolution de l’arithmétique. Legendre a cru démontrer le cinquième postulat d’Euclide en faisant un raisonnement circulaire. Ces erreurs, et quelques autres que vous découvrirez, ont pourtant eu un impact très positif sur l’histoire des mathématiques : elles ont été le moteur de nombreux travaux dont les développements continuent à nourrir la pensée scientifique.

Espaces de Hilbert, de Banach, espaces vectoriels normés, topologiques, mesurables… Conceptualisés à la fin du xix e siècle et au début du xx e, les espaces sont indispensables au travail du mathématicien d’aujourd’hui. On peut les imaginer comme des « environnements de travail » qui mettent à disposition des « outils » (distances, normes, produits scalaire, mesure…), permettant de formaliser les notions intervenant dans la résolution des problèmes (convergence, limite, continuité…). On découvre alors que des idées apparues initialement sur les ensembles de nombres ou de vecteurs peuvent s’appliquer à des ensembles plus complexes, comme les espaces de fonctions. Petit guide pour se repérer dans les espaces.

Une tendance fréquente au sujet de la valeur 1/2 est de vouloir à tout prix l’écrire sous la forme 0,5. La valeur 1/3, dont l’expression décimale n’a pas de fin (0,333…), offre pourtant un exemple simple de la supériorité de la notation fractionnaire sur la notation décimale, du moins dans un contexte mathématique. Le développement décimal n’a toutefois pas dit son dernier mot, car celui d’une fraction est toujours périodique, donc s’exprime aussi sous une forme finie, même si c’est à sa manière. D’autre part, il existe un vaste ensemble de nombres, tels √2 ou π, qu’on ne peut pas exprimer sous la forme a/b (avec a et b entiers). Malgré cet échec à représenter tous les réels, les fractions n’en demeurent pas moins un outil crucial pour explorer le concept fondamental de proportionnalité, dans lequel s’entremêlent notions mathématiques et pédagogie scolaire.

Dans les jeux à information parfaite, les graphes jouent un rôle fondamental : ils permettent en théorie, en remontant depuis les situations finales, de savoir si une situation est gagnante ou perdante pour celui qui en hérite. La réalité est plus compliquée, en particulier quand le nombre de situations, comme au jeu de go, est trop important. Mais des théories élaborées permettent de connaître son avance ou son retard sur l’adversaire ou encore de faire se rejoindre des jeux qui, a priori, n’avaient pas de points communs. Le célèbre jeu de Nim fait partie de ces références.

Littérature et maths, est-ce un oxymore ? Cette année encore, pour la onzième édition du prix Tangente du livre, les ouvrages sélectionnés prouvent le contraire. C'est l'occasion de plébisciter celui que vous préférez en votant pour lui. Profitez aussi de l'été pour faire de nouvelles découvertes et opérer un judicieux choix de livres autour des mathématiques, grâce aux nombreuses notes de lecture publiées dans nos différents numéros, en particulier dans ce dossier. Les passionnés d'écriture et de vulgarisation sont même invités à prendre la plume dans le cadre du prix Tangente du meilleur article.

Nourrie de concepts qui empruntent à la logique formelle aussi bien qu'à la théorie des probabilités, l'IA est un vaste chantier qui prépare une partie significative de notre avenir. Les mathématiques y jouent, et y joueront, un rôle clé. Tous les secteurs sont concernés, de la logique aux réseaux de neurones, des probabilités aux statistiques… On y exploite même les propriétés algébriques des fonctions rationnelles. Il revient aux acteurs du monde mathématique de contribuer à éclairer les citoyens sur les enjeux de cette nouvelle transformation.