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Dès la fin du XIXe siècle, les mathématiques s’emparent de la notion abstraite de distance en intégrant de nouvelles façons de la calculer dans le plan ou l’espace : distance « de Manhattan », distance en temps de parcours… On peut alors se demander à quoi ressemble le « cercle » correspondant. Des talents de dessinateur sont parfois nécessaires pour tracer les formes surprenantes qui répondent à la question. L’axiomatisation du concept d’espace métrique permet aussi d’extrapoler la distance à la combinatoire, l’analyse, voire l’algèbre. Les objets considérés ne sont plus obligatoirement des points au sens classique. On peut alors, par exemple, définir une distance entre deux fonctions.

Dans les sciences mais aussi dans la vie courante, nous sommes amenés à rencontrer de grands nombres. La manière de les nommer dépend alors, selon les pays, du choix de l’échelle utilisée, longue ou courte. L’imagination des scientifiques, en particulier des mathématiciens, étant sans bornes, des techniques pour désigner des nombres encore plus grands ont été mises au point. C’est le cas, dès l’Antiquité, avec l’Arénaire d’Archimède. Plus récemment, au xx e siècle, John Conway et Donald Knuth ont développé de nouvelles notations pour des nombres immensément plus grands que le nombre de particules élémentaires dans l’univers. Et ce qui est encore plus étonnant, c’est qu’on les rencontre dans certaines théories !

On dit généralement d’une situation qu’elle est « paradoxale » sans vraiment savoir ce que la notion de paradoxe signifie. Si ce mot est flou, c’est parce que le concept de paradoxe peut revêtir de nombreux sens, notamment en mathématiques : un résultat qui semble absurde, un résultat qui semble aller contre une théorie, voire une situation où l’on ne sait plus quoi conclure. Le point commun de toutes ces acceptions est l’étonnement que l’on ressent, un étonnement bénéfique pour l’esprit car il force à se poser des questions : me serais-je fait avoir par mon intuition ? Ce sera le cas des paradoxes de Simpson et de Penney. Arriverai-je à trouver une réponse convaincante ? On le verra avec le paradoxe des deux enveloppes. Le cadre conceptuel du problème aurait-il un point aveugle ? Ce sera l’aventure du paradoxe d’Allais. Nous terminerons par l’apéritif…

La compétence mathématique est au coeur de la demande de nombreux domaines industriels. La quantité des maths mobilisées par certains domaines, comme l'aéronautique ou la 5G, est impressionnante. Dans le traitement d'images, elles permettent de gérer la compression, la transmission, le débruitage ou la restauration de fichiers numériques. Des pans entiers de mathématiques se créent pour répondre à ces besoins. C'est le cas de la géométrie de l'information, née de la volonté de géométriser les espaces de distributions de probabilité. Le HPC (calcul à haute performance), qui consiste à utiliser de multiples unités pour réaliser des calculs très intensifs, est en plein développement, en particulier grâce au groupe Total, qui en a été un pionner.

Être mathématicienne, de métier ou de passion, recouvre de nombreuses stratégies, divers parcours, avec parfois un peu de reconnaissance de la part des institutions et du monde savant, mais souvent dans une pénombre où il est intéressant de s’engouffrer pour comprendre quelles étaient les différentes facettes de la pratique des mathématiques au féminin. Face à une science aux mains des hommes, certaines femmes ont ainsi répondu aux espaces qu’on leur laissait en mathématiques. D’autres ont voulu les conquérir de façon encore plus affirmée. Mais l’idée de la « femme savante » est un écueil à éviter car la société se gausse de cette figure qui n’a pas lieu d’être.

La loi de la gravitation de Newton est à la base des travaux en mécanique céleste. Elle paraît pourtant parfois dysfonctionner. Ainsi, Jupiter et Saturne ne semblent pas se comporter de façon attendue ; le flux des marées est supérieur à ce que prédit la théorie. À force de travaux, Laplace découvre des phénomènes méconnus : les forces dites de Coriolis, la dynamique des marées, les résonances gravitationnelles… Le touche-à-tout normand avait même prédit l’existence des trous noirs !

La richesse des courbes est exploitée dans de nombreux domaines. En mathématiques, elles ont servi à résoudre des problèmes géométriques, parfois impossibles à la règle et au compas, comme la trisection de l'angle ou la duplication du cube. Plus généralement, leur caractère visuel donne naissance à mille énigmes, problèmes ou conjectures. Quelle est la forme idéale d'un embranchement pour y faire circuler un véhicule ? Si de nombreuses courbes sont issues de l'observation de mouvements, inversement, d'autres permettent d'apporter des solutions à des problèmes d'astronomie ou de physique. Et, comme toutes les belles idées géométriques, elles possèdent une esthétique propre qui se retrouve avec bonheur dans l'art ou le design.

Deux instruments, la règle non graduée et le compas, se sont imposés dès l'Antiquité. Ils ont matérialisé les premiers axiomes de la géométrie d'Euclide et permis à son cortège de défis de se propager à travers l'espace et le temps. Ils ont suscité une myriade de techniques de construction et d'astuces mathématiques, également exploitées par des artistes dont les tracés ont produit des merveilles. Au-delà de l'alliance de ces deux outils mythiques, des résultats spectaculaires ont été réalisés avec un seul des deux.

Source inépuisable d'émerveillements arithmétiques, les critères de divisibilité sont loin d'être tous connus… et encore plus loin d'être maîtrisés ! Tout le monde sait reconnaître un entier divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 ou par un de leurs produits. La divisibilité par 11 est déjà un peu moins familière. Mais celle par des nombres premiers tels que 13, 17, 19, 23 ou 29 ? Vous séchez ? Il existe pourtant des astuces simples qui permettent de développer des critères pour chacun d'eux. Dès le XVII e siècle, Pascal en avait élaboré afin de venir en aide aux commerçants. D'autres algorithmes originaux continuent de prospérer aujourd'hui, comme ceux de Vosburgh Lyons.

Source inépuisable d'émerveillements arithmétiques, les critères de divisibilité sont loin d'être tous connus... et encore plus loin d'être maîtrisés ! Tout le monde sait reconnaître un entier divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 ou par un de leurs produits. La divisibilité par 11 est déjà un peu moins familière. Mais celle par des nombres premiers tels que 13, 17, 19, 23 ou 29 ? Vous séchez ? Il existe pourtant des astuces simples qui permettent de développer des critères pour chacun d'eux. Dès le XVII e siècle, Pascal en avait élaboré afin de venir en aide aux commerçants. D'autres algorithmes originaux continuent de prospérer aujourd'hui, comme ceux de Vosburgh Lyons.