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La division, la plus difficile des quatre opérations élémentaires, a le mauvais goût de ne pas toujours « tomber juste » ; elle admet alors non seulement un quotient, mais aussi un reste : c'est la division euclidienne. Pourquoi doit-elle son nom à Euclide ? C'est qu'avec les mathématiciens grecs, Euclide en particulier, les nombres sont passés du concret – avec les différents algorithmes qui permettent d'aboutir au résultat – à l'abstrait. Cette approche est en effet la source de nombreuses propriétés, qui vont d'une utilisation au quotidien (comme la confection des calendriers) aux mathématiques les plus poussées (comme les résidus quadratiques) en passant par un classique : les critères de divisibilité.

Les textes sacrés ne parlent pas seulement de foi : ils manipulent des nombres, des symboles, des visions du monde, parfois de véritables structures de pensée. De la Bible à Descartes, de Newton à Leibniz, ce dossier suit les chemins inattendus par lesquels croyances, lectures spirituelles et traditions anciennes ont inspiré des concepts mathématiques, logiques ou scientifiques. Une plongée dans l’histoire longue des idées, là où le calcul dialogue avec le sens.

Des autels védiques aux cathédrales gothiques, des tableaux de la Renaissance à l’orientation vers La Mecque, les pratiques religieuses ont souvent posé aux mathématiciens des problèmes très concrets : construire, aligner, mesurer, orienter, représenter l’infini. Ce dossier explore ces lieux où le geste sacré rencontre la rigueur géométrique, et montre comment rites, architecture et arts spirituels ont nourri certaines des plus belles idées mathématiques.

Au début du XIXe siècle, le mathématicien Joseph Gergonne pensa découvrir un nouveau monde lorsqu'il comprit qu'un théorème naissait d'un autre en intervertissant dans un énoncé les termes « point » et « droite ». Dans un sens plus large, cette analogie avait déjà été mise en valeur, en particulier dans le cadre des solides platoniciens. Baptisée ensuite dualité, elle permet, en « renversant » deux concepts « duaux », de parvenir à des démonstrations saisissantes de rapidité. La dualité fut le berceau de la géométrie projective. Elle se retrouve de nos jours dans de nombreux domaines : théorie des ensembles, logique, algèbre linéaire… L'analyse s'en est aussi emparée dans le cadre des espaces fonctionnels.

La statistique consiste tout d’abord à décrire de manière chiffrée et synthétique une situation donnée. Une première question est celle de la classification : peut-on, de manière automatique, regrouper des individus en classes, en ensembles « cohérents », tout en ne s’appuyant que sur une simple description par quelques variables statistiques ? La réponse est oui, de plusieurs manières ! La reconstitution du réel à partir de la synthétisation des données permet aussi de prendre des décisions : en médecine, il s’agira, par exemple, de tester et mesurer l’efficacité d’une thérapie par rapport à une autre, à partir de petits échantillons. En biologie, la grande quantité et l’hétérogénéité des données « omiques » (ayant trait aux molécules à différentes échelles) obligent à repenser les algorithmes et imaginer de nouvelles méthodes statistiques adaptées à leurs caractéristiques.

L'optimisation s'applique aussi à des contextes géométriques. La nature a été la première à la rechercher, que ce soit dans la forme des alvéoles des abeilles ou dans celle de certains reliefs façonnés par l'eau ou le vent. Les mathématiciens, eux aussi, s'y sont employés, utilisant aujourd'hui les outils du calcul différentiel qui ont supplanté les méthodes anciennes au point de rendre la géométrie méconnaissable. Les questions elles-mêmes se sont transformées sous l'effet de l'efficacité décuplée offerte par ces méthodes. Mais tout ne se réduit pas au calcul différentiel. Lorsque des aspects combinatoires s'y immiscent, les problèmes peuvent se révéler ardus, au point que certains énoncés apparemment simples, comme celui des triangles de Heilbronn, résistent encore à la sagacité des chercheurs.

Un ensemble est une collection d'objets – les éléments – entre lesquels il peut exister toutes sortes de relations. Au niveau élémentaire, on peut visualiser les ensembles à l'aide de « patatoïdes » reliés par des flèches pour matérialiser les relations qui les lient, mais cette représentation naïve trouve rapidement ses limites, en particulier quand les ensembles sont infinis. La théorie des ensembles offre surtout un cadre à la formalisation rigoureuse de tous les domaines des mathématiques et conduit à des démonstrations renversantes : plus qu'une simple théorie, c'est une nouvelle approche des mathématiques.

Lorsqu'on considère une famille de droites, il existe souvent une courbe tangente à chacune d'entre elles : c'est l'enveloppe de cette famille. Son équation se calcule à partir du paramétrage des droites. Quel plaisir de l'œil que de voir ces figures géométriques faites de droites habilement placées le long desquelles s'enlace une jolie courbe qui semble effleurer chacune d'entre elles ! Parmi les courbes ainsi construites, que l'on peut reconnaître dans les pliages ou les tableaux de fils tendus, on retrouve certaines figures bien connues comme les coniques. Les rayons lumineux se réfléchissant sur une surface dessinent aussi de jolies courbes, appelées caustiques. Passionné d'optique et proche de Leibniz, le comte de Tschirnhaus a compris l'intérêt du calcul différentiel pour les étudier. Les développées de courbes, enveloppes des normales, offrent, elles aussi, une belle géométrie !

Même en mathématiques, royaume de la rigueur, on ne peut échapper à la nécessité de réaliser des approximations ou des arrondis, de borner des écarts ou des erreurs potentielles. Le maniement des nombres en virgule flottante, qui fait le lien entre le monde des idées et celui de la technologie, en est un bel exemple. L'objectif d'exactitude pousse à quantifier l'incertitude imposée par des contraintes techniques ou matérielles. Indissociable du calcul scientifique, y compris avec l'outil informatique, l'approximation peut être lourde de conséquences. Pourtant, certaines erreurs sont célèbres pour avoir, par inadvertance, permis d'ouvrir une porte vers un nouvel univers.

L a notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIXe siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs visionnaires ont permis ce changement de point de vue en introduisant les bonnes notions de « base », de « dimension », de « déterminant », d' « application linéaire »… L'algèbre linéaire est devenue le cadre d'étude de nombreuses théories, en particulier en analyse. Aujourd'hui, avec le développement de l'outil informatique, l'algèbre linéaire s'implémente plus aisément grâce au calcul matriciel.