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Si l’on a parfois l’image d’un Blaise Pascal des plus ascètes, retiré dans un couvent, il ne faut pas oublier ses multiples visages. Il a aussi connu une vie mondaine haletante, comme le montre son intérêt pour la notion de pari suscité par les jeux de hasard. C’est aussi un entrepreneur averti qui sait repérer les idées novatrices ou visionnaires. Pascal s’inscrit dans bon nombre de débats de son époque, en science, en théologie ou en philosophie. La qualité de son écriture, son humour caustique et la solidité de son raisonnement font mouche.

Prendre la mesure de la complexité de la biodiversité passe par une modélisation fiable et réaliste des écosystèmes. Les mathématiques offrent plusieurs types d'outils, comme les systèmes dynamiques pour les modèles proies–prédateurs, ou l'algèbre linéaire pour comprendre les dynamiques d'évolution des populations. Il importe de maîtriser ces techniques extrêmement sensibles aux conditions initiales, aux précisions des paramètres et aux erreurs de calcul, sous peine de prédire l'extinction d'une population non menacée… ou l'inverse.

Tout commence avec Apollonius de Perge, dont le monumental traité pose les fondations d'une géométrie qui ne sera dépassée que deux millénaires plus tard. Le xvii e siècle va tout bousculer : Descartes, Pascal et Desargues s'emparent des coniques et les transforment, mêlant algèbre, perspective et théorie. Kepler – astronome de génie mais aussi mathématicien prodigieux – est sans doute l'un des premiers à unifier le concept de conique en un objet cohérent qu'il explore aussi bien dans l'étude des polyèdres que dans celle des orbites célestes. Enfin, la géométrie projective, en ramenant l'infini au même statut que le fini, révèle que derrière la diversité des courbes se cache une profonde unité.

Les mathématiques sont de plus en plus présentes en médecine, en particulier pour les besoins de l'imagerie médicale. Ainsi, depuis plus d'un siècle, des techniques non invasives permettent de voir l'invisible. De l'obtention de l'image à partir des données fournies par la physique, en passant par les diverses phases de son amélioration, jusqu'à son interprétation pour aider au diagnostic, les algorithmes de traitement sont constamment améliorés. Tout le monde a entendu parler du scanner, qui permet via la reconstruction tomographique, d'obtenir des coupes d'objets. Les mathématiques de l'imagerie médicale se rencontrent également pour simuler le fonctionnement d'un organe ou vérifier la conception et la mise en place de prothèses. Et lorsqu'il s'agit d'étudier un objet complexe comme le cerveau, la visualisation s'avère particulièrement sophistiquée.

Inventer l'inexistant, explorer des mondes inconnus, se déplacer « autrement »...Les surfaces permettent aux théoriciens de laisser libre cours à leur imagination, pour échafauder, par exemple, des objets d'un genre nouveau qui font mieux comprendre la trajectoire d'une boule de billard. Rien n'arrête la créativité, qui va même jusqu'à expliquer, avec les « fractales lisses », comment faire tenir la Terre dans un ballon ou un dé à coudre… Les mathématiques débouchent aujourd'hui sur de vrais miracles !

De même qu'un petit dessin vaut mieux qu'un long discours, rien ne vaut, dans le domaine des mathématiques, un contre-exemple pour démentir une fausse intuition ou une conjecture erronée. Si elle est fascinante (ou parfois amusante) pour les passionnés, la recherche des contre-exemples n'est pas une simple distraction. Elle est fondamentale, tant dans le processus de raisonnement que comme outil pédagogique. Elle a émaillé le développement des mathématiques, permettant par exemple à la théorie des fonctions de prendre corps. Plus récemment, des programmes utilisant l'intelligence artificielle ont mis en évidence des contre-exemples sophistiqués, réfutant de nombreuses conjectures, en particulier en théorie des graphes.

Aussi simple et féconde qu'elle soit, la notion d'ensemble révèle, une fois soumise à l'analyse impitoyable du logicien, de redoutables problèmes techniques. Des paradoxes émergent : peut-on considérer l'ensemble de tous les ensembles ? Un ensemble peut-il être un élément de lui-même ? Les ensembles infinis soulèvent d'autres questions. Combien de types d'infinis fondamentalement différents existe-t-il ? L'infini, l'autoréférence, les paradoxes, cachés en embuscade, réservent bien des surprises au voyageur imprudent…

Dans les jeux à information incomplète, les stratégies de jeu de sont pas certaines, dans la mesure où elles dépendent d’informations que les joueurs n’ont pas. Les probabilités vont alors intervenir de façon forte dans la manière de jouer, l’objectif étant d’aller vers la situation qui maximise la probabilité de gain, voire son espérance. Mais cette probabilité n’est pas toujours simple à calculer, d’autant que dans certains contextes, comme les jeux de casino, les règles changent pour empêcher les joueurs de la maîtriser.

Qu'ils soient de réflexion ou de hasard, les jeux sont un terrain d'entraînement privilégié pour les algorithmes. Illustration de la marche irrésistible des progrès de l'informatique, la victoire récente d'un ordinateur sur un champion humain au jeu de go ne doit toutefois pas tromper : l'enjeu n'est pas seulement de faire gagner la machine, mais surtout d'explorer de nouvelles pistes. C'est dans cette logique qu'un laboratoire privé s'appuie sur le bridge pour développer une intelligence artificielle capable non seulement de gagner, mais surtout d'expliquer ce qu'elle fait. Une approche qui remet en vedette la simulation du comportement humain, négligée ces dernières années au profit de l'exploitation des données massives.

Parmi ce qui distingue les mathématiques des autres sciences figure, sans aucun doute, la capacité à abstraire un savoir, un objet, une idée, une notion, sans avoir à référer à une réalité « sensible ». D’ailleurs, la question de l’existence des concepts mathématiques tels que le nombre ou le point a fait « cogiter » les plus grands esprits, de Platon à Hilbert en passant par Leibniz et Whitehead. L’avènement de l’algèbre a permis de « monter en puissance » en identifiant et en étudiant des structures de plus en plus générales, lesquelles se sont propagées ensuite dans de nombreux domaines des mathématiques, en particulier en géométrie algébrique. Dans ce cadre, Alexandre Grothendieck s’est particulièrement illustré, introduisant des idées qui surprennent par leur degré d’abstraction… et leur fécondité ! Mais tout cela pourrait-il n’être qu’un « simple » processus mécanique observable par les neurologues ?