L'abstraction en mathématiques
Parmi ce qui distingue les mathématiques des autres sciences figure, sans aucun doute, la capacité à abstraire un savoir, un objet, une idée, une notion, sans avoir à référer à une réalité « sensible ». D’ailleurs, la question de l’existence des concepts mathématiques tels que le nombre ou le point a fait « cogiter » les plus grands esprits, de Platon à Hilbert en passant par Leibniz et Whitehead. L’avènement de l’algèbre a permis de « monter en puissance » en identifiant et en étudiant des structures de plus en plus générales, lesquelles se sont propagées ensuite dans de nombreux domaines des mathématiques, en particulier en géométrie algébrique. Dans ce cadre, Alexandre Grothendieck s’est particulièrement illustré, introduisant des idées qui surprennent par leur degré d’abstraction… et leur fécondité ! Mais tout cela pourrait-il n’être qu’un « simple » processus mécanique observable par les neurologues ?
Tous les articles de ce dossier
PodcastLa construction d'images mentales en abstraction | Tangente
Peut-on parler d’abstraction de manière concrète ? La question mérite d’être posée puisque dans le langage courant, « abstrait » et « concret » passent souvent pour deux notions opposées. En réalité, les choses sont plus subtiles. Et si l’abstraction n’était qu’une illusion ?
PodcastMaurice Fréchet : axiomatiser ou désaxiomatiser | Tangente
Le mathématicien français Maurice Fréchet distinguait deux types de chercheurs. Certains travaillent essentiellement de manière abstraite, tandis que d’autres se soucient de vérifier expérimentalement les prédictions auxquelles leur démarche mathématique les a conduits.
PodcastDe l’algèbre « concrète » à l’algèbre « abstraite »
Au XXIe siècle, l’idée d’algèbre « concrète » semble paradoxale : pour tous, lycéens, étudiants et professeurs, cette discipline est essentiellement abstraite, elle se consacre à l’étude des structures (groupes, anneaux, corps, modules, éventuellement ensembles ordonnés…). Ce ne fut pas toujours le cas.
PodcastPionniers de l'abstraction mathématique | Tangente
Rencontre avec quelques pionniers de l'abstraction en mathématiques.
PodcastThéorie des catégories : un abstract nonsense ? | Tangente
L’essence des mathématiques modernes est l’abstraction, en particulier depuis les années 1930 avec l’émergence du concept de structure. Mais dès les années 1940 apparaît un nouveau concept, les catégories, accompagné des idées de foncteur et de transformation naturelle.
La méthode visionnaire d'Alexandre Grothendieck | Tangente
Alexandre Grothendieck (voir notre dossier dans Tangente 162, 2015) a laissé une immense empreinte dans les mathématiques du XXe siècle.
Une notion abstraite : les filtres
La notion de filtre, élaborée par le Français Henri Cartan (1904 —2008), anticipée par le Polonais Alfred Tarski (1901—1983), peut être considérée comme une généralisation de la notion de limite d’une suite dans l’ensemble des nombres réels.
Cryptarithme : Elles ont des ailes, énigme math | Tangente
PodcastMaths et existence : philosophie du nombre | Tangente
Les mathématiques visant un savoir débarrassé de toute référence à la réalité sensible, il semble qu’il n’y ait rien de plus opposé que les mathématiques et l’existence. Comment pourraient-elles alors exprimer la singularité de ce qui est ? Cette question a suscité bien des réflexions entre les XVIIe et XXe siècles.