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En rupture avec la recherche de régularité dans les phénomènes scientifiques, l'intérêt pour les fonctions discontinues est apparu soudainement au début du XIXe siècle avec l'étude des séries de Fourier. Davantage de rigueur s'est alors imposée pour définir les concepts de fonction, de continuité, de dérivabilité. Riemann, Lebesgue, Darboux et d'autres ont proposé des exemples de fonctions monstrueuses pour justifier l'intérêt des théories q'ils avaient élaborées, ouvrant le champ à de nouvelles approches de la physique et même de l'économie.

Représenter les nombres réels comme les points d'une droite est une idée qui a bouleversé la géométrie autant que l'analyse. Descartes, en repérant les points du plan par deux nombres, y a joué un rôle majeur. Depuis son apport, on sait mettre une droite en équation ! La construction des nombres réels au xixe siècle est l'aboutissement de la transition d'une vision intuitive de la droite à une représentation axiomatique. Cette approche a permis de s'intéresser à la notion de « proximité » des points, de définir un intervalle et plus généralement de se pencher sur la topologie de la droite réelle.

Depuis Euclide, la droite est la base de la géométrie. La plupart des figures en contiennent et de nombreux théorèmes ont relevé le défi de démontrer que certains points sont alignés ; on en déduit l'existence de droites remarquables, comme celles d'Euler ou de Simson (voir ci-contre). Les droites semblent « guider » les courbes et les surfaces. Une courbe s'assimile localement à sa tangente, à l'infini à son asymptote. Elle peut être définie par une famille de droites qui s'avèrent lui être toutes tangentes : c'est l'enveloppe. Trouver des droites dans une surface conduit à mieux la construire. Chose étonnante, certaines surfaces sont même une réunion de droites alors que tout paraît courbe en elles !

Dans l’univers des nombres réels, quand on n’est pas transcendant, on est algébrique. C’est-à-dire, pour les seconds, solutions d’une équation algébrique à coefficients entiers. C’est le cas, par exemple, de tous les nombres constructibles à la règle et au compas. Mais même si certains peuvent s’écrire à l’aide de radicaux, ce n’est pas le cas de tous et leur étude nous ramène souvent à la théorie des équations initiée par Galois au XIXe siècle. Une autre spécificité de l’ensemble des nombres algébriques est de posséder une structure : la somme, le produit et le quotient de deux d’entre eux est encore algébrique. On est donc en présence d’un corps, notion très importante dans l’algèbre moderne.

Au XIXe siècle, en France, l’école prend peu à peu le rôle qu’on lui connaît aujourd’hui et on finit par se dire, grâce à divers mouvements féministes, qu’il serait utile que les filles y aillent pour apprendre elles aussi à réfléchir. Dès lors, il faut des enseignantes de mathématiques et on crée une agrégation féminine de mathématiques. En parallèle, en Angleterre, aux États-Unis et en Allemagne, des opportunités s’ouvrent. Outre-Atlantique, l’université de Bryn Mawr, réservée aux filles, devient un centre d’un grand dynamisme qui forme des générations de mathématiciennes. En Allemagne, l’université de Göttingen accueille de plus en plus de jeunes chercheuses.

Visuelle, surprenante et riche d'applications (la structure du ballon de football est la plus connue), elle figure au panthéon des plus belles formules mathématiques : S + F = A + 2. Si l'étude des polyèdres fascinait déjà Platon, la relation reliant le nombre de ses sommets, ses faces et ses arêtes avait été anticipée par Descartes avant d'être exprimée rigoureusement par Euler, le mathématicien suisse qui lui a donné son nom (ce n'est que justice !). Poincaré a entrepris de la généraliser, mais elle est encore loin d'avoir livré tous ses secrets.

Elle nous vient de l'Antiquité et c'est un joyau de la géométrie du plan. Bien plus récente et méconnue que les théorèmes de Thalès et de Pythagore, la formule de Héron permet de déterminer l'aire d'un triangle à l'aide de la seule connaissance de la longueur de ses côtés. Ce n'est que la partie émergée de la pyramide car cette pépite géométrique se généralise grandement au-delà du triangle. Ainsi, le génial Euler en a trouvé une version sidérante pour le tétraèdre. Brahmagupta puis Bretschneider en ont proposé une variante pour les quadrilatères. Enfin, à l'instar de son illustre prédécesseur le théorème de Pythagore, la formule de Héron peut donner lieu à des recherches arithmétiques étonnantes, comme celle des « triplets héroniens ». Bienvenue en géométrie !

Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Les retombées sont spectaculaires : « algébriser » la géométrie permet de revisiter la plus ancienne des sciences, de la généraliser à des contextes inattendus ou plus abstraits, de gagner en rigueur, d'adopter une démarche plus systématique et calculatoire, de repenser la notion d'espace, et de découvrir de nouveaux résultats ! Cette nouvelle « mathématique sans figures », conserve l'intuition géométrique, mais va bien au-delà… En étendant la notion de distance introduite par les espaces euclidiens, l'introduction des espaces vectoriels normés, qui permet d'élargir le champ des espaces vectoriels à l'analyse fonctionnelle, débouche sur une nouvelle moisson de résultats et d'applications.

Le pliage de papier n’est pas seulement une agréable distraction qui enseigne la patience, la précision et la rigueur. C’est également une formidable opportunité de s’interroger sur la géométrie. Les résultats mathématiques que l’on trouve en s’intéressant à l’origami sont en effet nombreux, profonds et riches de surprises. On peut ainsi construire de manière exacte des nombres inaccessibles à la règle et au compas de la géométrie euclidienne. Ou obtenir toute forme polygonale à l’aide… d’un seul coup de ciseaux. Ou encore identifier les cartes de plis issus d’un « vrai » pliage grâce à quelques invariants élémentaires mais découverts récemment seulement. Le pliage de papier, une discipline mathématique ? Ça ne fait pas un pli !

La géométrie discrète est un domaine à la croisée de plusieurs disciplines, comme la géométrie, l’arithmétique ou la combinatoire. Pour s’en faire une idée, imaginons remplacer le plan euclidien, continu, par une grille, formée des points à coordonnées entières. Les objets géométriques que nous y rencontrons sont, par exemple, des polygones dont les sommets se trouvent sur ces points. Peut-on y définir une droite, un cercle ? Ces questions se sont posées avec particulièrement d’acuité à partir des années 1950, lorsqu’il a fallu représenter des images sur des écrans, ensembles discrets de pixels. De nombreux problèmes de géométrie discrète sont encore ouverts et conduisent à de passionnants développements.